"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Тангенс суммы и разности позволяет найти тангенс угла, если он представлен как сумма или разность углов с известными тангенсами. Формулы выводятся из формул синуса и косинуса суммы и помогают вычислять точные значения, преобразовывать выражения и решать уравнения. Для применения важно проверить, что тангенсы отдельных углов существуют и знаменатель дроби не равен нулю: иначе тангенс итогового угла не определён.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула тангенса суммы записывается так: tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β). Здесь α и β — углы, а tg обозначает тангенс угла. Формула помогает вычислить тангенс суммы, когда известны тангенсы слагаемых углов.
Формула тангенса разности имеет вид tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β). Она применяется, когда из одного угла вычитают другой и известны тангенсы обоих углов. Знаки в числителе и знаменателе зависят от того, складываются аргументы или вычитаются.
Обе формулы действуют только при определённых условиях. Тангенсы tg α и tg β должны существовать, то есть cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0; знаменатель полученной дроби также не должен быть равен нулю. Это нужно проверять, чтобы не приписать значение тангенсу угла, для которого он не определён.
Начнём с определения: tg(α + β) = sin(α + β) / cos(α + β). Подставим формулы синуса и косинуса суммы: tg(α + β) = (sin α · cos β + cos α · sin β) / (cos α · cos β − sin α · sin β). Чтобы выразить результат через тангенсы отдельных углов, разделим числитель и знаменатель на cos α · cos β.
После деления каждый член числителя превращается в тангенс: sin α / cos α = tg α и sin β / cos β = tg β. В знаменателе получаем 1 − tg α · tg β, поэтому выходит формула тангенса суммы. Деление допустимо только при cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0, что как раз означает существование обоих исходных тангенсов.
Формулу разности можно получить из формулы суммы, подставив вместо β угол −β. Тогда tg(α + (−β)) = (tg α + tg(−β)) / (1 − tg α · tg(−β)). Тангенс — нечётная функция, поэтому tg(−β) = −tg β; подстановка даёт tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β).
Разные знаки в знаменателях не случайны: при сумме косинус раскрывается как cos α · cos β − sin α · sin β, а при разности — как cos α · cos β + sin α · sin β. После деления на cos α · cos β эти выражения дают соответственно минус и плюс перед произведением тангенсов. Поэтому знак знаменателя удобно сверять с формулой косинуса, а не запоминать отдельно.
Ненулевой знаменатель дроби связан с определённостью тангенса итогового угла. Например, в формуле суммы cos(α + β) = cos α · cos β · (1 − tg α · tg β), если исходные косинусы не равны нулю. Значит, при нулевом знаменателе дроби cos(α + β) = 0 и tg(α + β) не существует; для разности рассуждение такое же, но используется множитель 1 + tg α · tg β.
Чтобы найти точное значение, представьте угол как сумму или разность углов, тангенсы которых известны из таблицы или условий задачи. Затем подставьте значения в нужную формулу, выполнив вычисления с дробями и корнями без преждевременного округления. В конце проверьте знаменатель: если он равен нулю, полученное выражение не задаёт значение тангенса.
| Случай | Формула | Условия применимости |
|---|---|---|
| Сумма аргументов | tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β) | tg α и tg β определены; 1 − tg α · tg β ≠ 0 |
| Разность аргументов | tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β) | tg α и tg β определены; 1 + tg α · tg β ≠ 0 |
Сначала определите, записан ли угол как сумма или как разность, и выберите соответствующую строку. Затем проверьте существование тангенсов отдельных углов и ненулевое значение знаменателя. Эти проверки подтверждают, что формулу можно применить к конкретным аргументам.
Задача 1. Найти tg(π/4 + π/6). Здесь угол представлен суммой двух стандартных углов, тангенсы которых известны: tg(π/4) = 1, а tg(π/6) = 1/√3. Используем формулу суммы и отдельно проверяем, что её знаменатель не обращается в ноль.
Ответ: tg(π/4 + π/6) = 2 + √3. Знаменатель формулы был ненулевым, поэтому найденное значение определено.
Задача 2. Найти tg(arctg 2 + arctg(1/3)). Арктангенс числа — это угол, тангенс которого равен этому числу, поэтому тангенсы слагаемых сразу известны. Применим формулу суммы, не вычисляя сами углы.
Ответ: 7. Здесь особенно удобно использовать определение арктангенса: оно сразу сообщает тангенс угла.
Задача 3. Найти все x на [0; 2π), для которых tg(x + π/4) = 1. Сначала область определения исходного тангенса: x + π/4 ≠ π/2 + πk, поэтому x ≠ π/4 + πk. Когда tg x определён, можно применить формулу суммы с tg(π/4) = 1.
Ответ: x = 0, π. При проверке учитываем именно область определения исходного выражения, а не только уравнения, полученного по формуле.
Первая ошибка — поставить в знаменателе суммы плюс, а в знаменателе разности минус. Это происходит, если запомнить формулу по отдельным знакам, не связывая её с косинусом суммы или разности. Проверьте себя по формулам косинуса: при сумме перед sin α · sin β стоит минус, при разности — плюс.
Вторая ошибка — не проверить знаменатель дроби и получить результат при его нулевом значении. В таком случае деление невозможно, а косинус итогового угла равен нулю, поэтому его тангенс не существует. После подстановки обязательно вычислите знаменатель до деления.
Третья ошибка — применять формулу, если tg α или tg β не определён. Такое случается, когда забывают, что тангенс равен отношению sin угла к cos угла. Перед подстановкой убедитесь, что cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0.
Четвёртая ошибка — неверно заменить tg(−β) при переходе от суммы к разности. Из-за нечётности тангенса tg(−β) = −tg β, поэтому знак меняется и в числителе, и в выражении знаменателя: минус перед произведением становится плюсом. Подставьте −tg β в каждый член формулы суммы, чтобы проверить преобразование.
Для вывода формул нужны определения синуса, косинуса и тангенса, а также формулы синуса и косинуса суммы и разности. Тангенс выражается через отношение синуса к косинусу, поэтому формулы для него получают делением соответствующих формул друг на друга. Знание этих связей помогает не только запомнить знаки, но и восстановить формулы при необходимости.
Формулы суммы и разности применяют при преобразовании тригонометрических выражений и вычислении точных значений углов. Они также помогают решать тригонометрические уравнения, когда аргумент тангенса можно представить как сумму или разность. В уравнениях особенно важно сохранять область определения исходного выражения.
Как вывести формулу тангенса суммы?
Запишем tg(α + β) как sin(α + β) / cos(α + β) и подставим формулы синуса и косинуса суммы. Разделив числитель и знаменатель на cos α · cos β, получим (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β).
Почему в знаменателе формулы суммы стоит минус?
В формуле косинуса суммы есть слагаемое −sin α · sin β. После деления cos(α + β) на cos α · cos β оно превращается в −tg α · tg β.
Как получить формулу тангенса разности из формулы суммы?
В формуле суммы заменим β на −β. Поскольку tg(−β) = −tg β, в числителе получится разность тангенсов, а в знаменателе — сумма их произведения с единицей.
Когда формулу тангенса суммы или разности нельзя применять?
Формула неприменима, если хотя бы один из тангенсов отдельных углов не существует: соответствующий косинус равен нулю. Также знаменатель дроби должен быть ненулевым, иначе тангенс итогового угла не определён.
Как выбрать формулу, если угол записан как сумма или разность?
Если углы складываются, используйте формулу суммы со знаком минус в знаменателе. Если из одного угла вычитают другой, нужна формула разности со знаком плюс; перед подстановкой проверьте условия применимости.
§ 20. Тангенс суммы и разности аргументов
