"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Формулы сложения позволяют найти синус или косинус суммы и разности углов, даже если значение всей функции нельзя сразу взять из таблицы. Они выражают результат через синусы и косинусы каждого аргумента, поэтому помогают вычислять точные значения, упрощать выражения и доказывать тождества. Главное — не складывать значения функций и не путать знаки: у синуса они повторяют знак между аргументами, а у косинуса при смене суммы на разность меняются.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус суммы аргументов вычисляют по формуле sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Здесь α и β — углы, или аргументы тригонометрических функций. Формула нужна, когда требуется найти синус суммы, а значение суммы не дано в таблице.
Косинус суммы аргументов вычисляют так: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. В отличие от формулы синуса, здесь перемножаются отдельно косинусы и синусы, а между произведениями стоит минус. Это правило помогает находить косинус нового угла по известным значениям для двух углов.
Синус разности аргументов задаётся формулой sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. Она позволяет раскрыть синус угла, полученного вычитанием одного аргумента из другого. Знак между произведениями здесь минус, потому что аргументы также соединены знаком минус.
Косинус разности аргументов вычисляют по формуле cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. В ней произведение синусов складывается с произведением косинусов. Это правило особенно полезно, когда угол удобно представить как разность известных углов.
Формулы сложения связывают значение функции для целого угла с функциями от его частей. Например, α и β можно понимать как два последовательных поворота: вместе они дают поворот на угол α + β. При таком объединении меняются сразу обе координаты точки на единичной окружности, поэтому в ответе появляются и синусы, и косинусы обоих углов. Именно поэтому формула состоит из двух произведений, а не из сложения двух значений синуса.
Формулы для разности можно не заучивать как отдельные правила: они получаются из формул суммы. Разность α − β — это сумма α и противоположного угла −β. Подставляя −β вместо β в формулу суммы, учитываем, что sin(−β) = −sin β, а cos(−β) = cos β. Поэтому в формуле синуса разности второе произведение получает минус, а в формуле косинуса разности перед произведением синусов оказывается плюс.
Удобно сопоставлять формулы синуса отдельно от формул косинуса. В синусе знак между произведениями повторяет знак между аргументами: плюс в формуле суммы и минус в формуле разности. У косинуса знаки устроены иначе: у суммы стоит минус, у разности — плюс. Если запомнить эти две закономерности, легче восстановить формулу и проверить, не перепутан ли знак.
Нельзя просто сложить значения синусов или косинусов отдельных углов, потому что тригонометрическая функция не распределяется по сложению аргументов. Например, даже sin(30° + 30°) не равен sin 30° + sin 30°: слева получается sin 60° = √3/2, а справа — 1. Специальные формулы учитывают влияние обоих углов через произведения синусов и косинусов. Поэтому при раскрытии суммы аргументов нужно применять формулу, соответствующую функции.
Формулы дают способ свести незнакомый угол к знакомым. Если представить 75° как 45° + 30°, то в вычислении появятся табличные значения для 45° и 30°. Так же можно преобразовать выражение с переменной: раскрыть каждую функцию отдельно, а затем собрать слагаемые. В обоих случаях полезно сначала выбрать представление угла или выражения, которое приводит к известным значениям либо к удобному сокращению.
| Функция | Сумма аргументов | Разность аргументов |
|---|---|---|
| Синус | sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β | sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β |
| Косинус | cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β | cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β |
Сначала найдите в таблице нужную функцию, затем определите, сумма или разность стоит в аргументе. В каждой формуле подставляйте значения синуса и косинуса обоих углов, не меняя порядок множителей. Перед вычислениями отдельно проверьте знак между произведениями.
Задача 1. Найти sin 75°, представив 75° как сумму 45° и 30°. Угол задан в градусах, поэтому используем градусные табличные значения. Выбираем формулу синуса суммы, поскольку 75° = 45° + 30°.
Ответ: sin 75° = (√6 + √2)/4. Важно, что знак между произведениями в формуле синуса суммы положительный. Значения для 45° и 30° подставлены отдельно, а затем произведения сложены.
Задача 2. Вычислить cos(π/12), представив π/12 как разность π/4 и π/6. Здесь все углы заданы в радианах, поэтому не требуется переводить их в градусы. Для косинуса разности используем формулу со знаком плюс перед произведением синусов.
Ответ: cos(π/12) = (√6 + √2)/4. При раскрытии важно не поставить минус: для косинуса разности произведение синусов прибавляется. Промежуточное представление угла помогает увидеть, почему применена именно эта формула.
Задача 3. Упростить sin(x + π/3) − sin(x − π/3). В обоих слагаемых присутствует переменная x, поэтому сначала раскрываем обе функции, а затем ищем одинаковые слагаемые. Значения sin(π/3) и cos(π/3) известны: √3/2 и 1/2 соответственно.
Ответ: √3 cos x. При вычитании целого выражения важно сменить знаки у всех его слагаемых. Именно поэтому два слагаемых с cos x не сокращаются, а дают удвоенное произведение.
Ошибочно считать, что sin(α + β) = sin α + sin β. Так поступают, перенося привычное раскрытие скобок на функцию, но синус не распределяется по сложению аргументов. Проверьте себя на 30° + 30°: результаты слева и справа различаются.
В формуле косинуса суммы вместо минуса ставят плюс или наоборот путают знак для разности. Это случается, если помнить только расположение произведений, но не связывать знак с видом аргумента. Сверьте запись с правилом: у суммы перед произведением синусов минус, у разности плюс.
Формулу sin(α − β) иногда записывают со знаком плюс между произведениями. Ошибка возникает из-за смешения её с формулой синуса суммы, хотя здесь нужно учитывать знак разности. Перед подстановкой проверьте, что знак между произведениями совпадает со знаком между аргументами.
Нельзя подставлять в одно выражение угол в градусах, а другой — в радианах, не согласовав единицы. Например, 30° и π/6 обозначают один и тот же угол, но запись формулы должна использовать выбранную систему последовательно. Перед вычислением приведите все аргументы к градусам или все к радианам.
Для работы с формулами нужны табличные значения синуса и косинуса основных углов, например 30°, 45° и 60°. Также пригодятся чётность и нечётность функций: sin(−β) = −sin β, а cos(−β) = cos β. Эти свойства помогают выводить формулы разности из формул суммы и проверять знаки.
Формулы сложения применяются, когда тригонометрическое выражение нужно преобразовать к более удобному виду. С их помощью упрощают выражения, решают уравнения и доказывают тождества. Умение выбирать подходящее разложение угла позволяет свести вычисления к известным значениям.
Как запомнить формулы синуса суммы и разности?
В формуле синуса стоят два произведения: sin первого аргумента на cos второго и cos первого на sin второго. Знак между произведениями такой же, как между аргументами: плюс для суммы, минус для разности.
Почему в формуле косинуса суммы перед произведением синусов стоит минус?
Этот знак следует из связи косинуса с поворотом на окружности и из формул сложения углов. Удобно запомнить его вместе с парной формулой: у суммы косинусов минус, у разности — плюс.
Как вывести формулы разности из формул суммы?
Замените β на −β в формулах суммы. Затем используйте sin(−β) = −sin β и cos(−β) = cos β: у синуса появится минус, а косинус второго аргумента не изменится.
Можно ли раскрывать синус или косинус суммы как сумму значений функций?
Нет: в общем случае sin(α + β) не равен sin α + sin β, и то же верно для косинуса. Для раскрытия применяют специальные формулы, где участвуют и синус, и косинус обоих аргументов.
Как выбрать сумму или разность углов для вычисления точного значения?
Представьте данный угол как сумму или разность таких углов, для которых известны синусы и косинусы, например 30°, 45° и 60°. Выберите представление, при котором значения можно удобно подставить в нужную формулу.
§ 19. Синус и косинус суммы и разности аргументов
