§ 18. Тригонометрические уравнения

Определения и обозначения

Тригонометрическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент тригонометрической функции, например sin x = ½ или tg(2x) = 3. Его корни — значения неизвестной, при подстановке которых равенство становится верным. Решая такое уравнение, мы ищем не только один подходящий угол, но и все значения, из-за которых равенство выполняется.

Арксинус числа a, обозначаемый arcsin a, — это значение из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Арксинус определён только при |a| ≤ 1, поскольку синус не принимает значений за пределами этого промежутка. Главное значение arcsin помогает выбрать одну исходную точку, от которой затем строят все корни уравнения.

Арккосинус числа a, обозначаемый arccos a, — значение из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Он существует только при |a| ≤ 1, так как область значений косинуса — [−1; 1]. Благодаря выбранному промежутку у каждого допустимого a есть ровно одно главное значение arccos a.

Арктангенс числа a, обозначаемый arctg a, — значение из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a. Он определён при любом действительном a: тангенс может принимать сколь угодно большие положительные и отрицательные значения. Это главное значение служит начальным решением, а остальные получают с помощью периода тангенса.

Как это устроено

Тригонометрические функции периодичны: если к аргументу прибавить период, значение функции не изменится. Поэтому одного найденного угла недостаточно — вместе с ним корнями становятся и углы, отличающиеся на целое число периодов. Для синуса и косинуса период равен 2π, а для тангенса и котангенса — π, поэтому в общих решениях используются разные слагаемые.

Уравнение sin x = a возможно только при |a| ≤ 1: график синуса не выходит за горизонтальные уровни 1 и −1. На одном обороте обычно находятся два угла с одним и тем же синусом, потому что точки окружности с одинаковой вертикальной координатой расположены симметрично. Одну из них задаёт arcsin a, вторую учитывает выражение π − arcsin a; обе серии вместе удобно записать формулой x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, где n ∈ ℤ.

Для уравнения cos x = a также требуется |a| ≤ 1. Если α = arccos a, то косинус одинаков у углов α и −α: соответствующие точки окружности симметричны относительно горизонтальной оси. Поэтому сначала получаем две серии x = ±α, а затем добавляем все полные обороты: x = ± arccos a + 2πn. Так учитываются и симметрия, и период косинуса.

Тангенс и котангенс принимают любое действительное значение, поэтому равенства tg x = a и ctg x = a разрешимы при любом a ∈ ℝ. Для тангенса начальное решение — arctg a; для котангенса используют arcctg a, обычно выбирая значение из (0; π). Поскольку обе функции повторяются через π, к начальному решению прибавляют πn, а не 2πn; при этом аргумент должен принадлежать области определения функции.

В более сложном уравнении сначала преобразуют выражения так, чтобы получить равенство вида sin u = a, cos u = a, tg u = a или ctg u = a. Иногда помогает замена переменной, например t = sin x, после которой решают алгебраическое уравнение и возвращаются к исходной переменной. На каждом этапе нужно проверить ограничения: значения синуса и косинуса должны лежать в [−1; 1], а аргументы тангенса и котангенса — не попадать в точки, где функция не определена. После этого записывают все серии корней и, если условие задаёт промежуток, оставляют только попавшие в него значения.

Простейшие тригонометрические уравнения и их общие решения

Сначала найдите в таблице строку с нужной функцией и проверьте условие существования корней. Затем подставьте число a в формулу общего решения, не забывая, что n — любое целое число. Если требуется ответ на заданном промежутке, отберите из общей серии только подходящие значения x.

Разбор задач

Решим уравнение sin x = ½. Здесь правая часть допустима, потому что её модуль не превышает 1. Сначала найдём главное значение арксинуса, а затем запишем все корни, учитывая обе ветви и периодичность синуса.

1. Находим arcsin(½) = π/6, поскольку sin(π/6) = ½ и π/6 принадлежит [−π/2; π/2].
2. Применяем формулу: x = (−1)ⁿπ/6 + πn, n ∈ ℤ. Она объединяет обе серии корней уравнения.
3. Для наглядности первые значения: при n = 0 получаем π/6, при n = 1 — 5π/6. Далее корни повторяются с учётом периода 2π.

Ответ: x = (−1)ⁿπ/6 + πn, n ∈ ℤ.

Решим уравнение 2 cos x − 1 = 0. Сначала нужно выделить косинус: так мы увидим, какое значение должна принимать функция, и проверим, существует ли оно в её области значений. Затем применим формулу общего решения для косинуса.

1. Переносим 1 вправо: 2 cos x = 1.
2. Делим обе части на 2: cos x = ½. Условие |½| ≤ 1 выполнено, значит, корни существуют.
3. Так как arccos(½) = π/3, записываем x = ±π/3 + 2πn, n ∈ ℤ.

Ответ: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ ℤ.

Решим уравнение 2 sin² x − 3 sin x + 1 = 0. Оно содержит синус во второй степени, поэтому заменим sin x новой переменной t и сначала решим квадратное уравнение. После этого важно проверить, какие найденные значения t вообще могут быть синусом, и для каждого допустимого значения решить отдельное уравнение.

1. Положим t = sin x. Получаем 2t² − 3t + 1 = 0, то есть (2t − 1)(t − 1) = 0.
2. Корни: t = ½ или t = 1. Оба допустимы, так как синус принимает значения от −1 до 1.
3. При sin x = ½ имеем x = (−1)ⁿπ/6 + πn, n ∈ ℤ. При sin x = 1 получаем x = π/2 + 2πn, n ∈ ℤ.
4. Объединяем решения двух уравнений: в исходном равенстве выполняются обе найденные серии.

Ответ: x = (−1)ⁿπ/6 + πn или x = π/2 + 2πn, n ∈ ℤ.

Типичные ошибки

Для sin x = a или cos x = a иногда записывают только одно значение, например arcsin a, и забывают вторую ветвь и периодические копии. Это происходит, если принять главное значение обратной функции за полное решение уравнения. Проверьте ответ на окружности или подставьте в исходное равенство оба симметричных угла, а затем добавьте период.

В уравнениях с тангенсом и котангенсом могут ошибочно прибавлять 2πn. Так делают по привычке, перенося период синуса и косинуса на другие функции. Проверка проста: сравните значение функции при x и x + π; оно повторяется, поэтому запись с 2πn пропускает часть корней.

Ещё одна ошибка — применять формулы синуса и косинуса, не проверив условие |a| ≤ 1. Например, равенство cos x = 2 не имеет корней, хотя механическая подстановка в формулу может создать видимость ответа. Сначала сравните правую часть с отрезком [−1; 1]; если число вне него, сразу укажите, что решений нет.

Наконец, главное значение арксинуса или арккосинуса иногда записывают как единственный ответ. Главное значение выбирает только один угол из установленного промежутка, тогда как уравнение имеет периодические корни и обычно вторую ветвь. Чтобы проверить себя, убедитесь, что в итоговой записи есть целое n и учтены все симметричные значения аргумента.

Связь с другими темами

Для решения нужны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса на основных углах, их области определения и периоды. При преобразованиях пригодятся навыки решения линейных и квадратных уравнений, а также замена переменной. Освоенные формулы становятся основой для более сложных тригонометрических уравнений и неравенств. Они также помогают описывать периодические процессы, например колебания и повторяющиеся изменения величин.

Что запомнить

• У sin x и cos x область значений [−1; 1].
• Уравнения sin x = a и cos x = a имеют корни только при |a| ≤ 1.
• Период синуса и косинуса равен 2π.
• Период тангенса и котангенса равен π.
• В общих решениях целое число n обозначает все периодические повторения корней.
• Главное значение обратной тригонометрической функции само по себе не является полным ответом уравнения.