§ 17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg х - а

Определения и обозначения

Арктангенс числа a — это число из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a. Его обозначают arctg a, то есть tg(arctg a) = a. Такое определение позволяет однозначно восстановить угол по значению тангенса.

Арккотангенс числа a — это число из интервала (0; π), котангенс которого равен a. Обозначение — arcctg a, поэтому ctg(arcctg a) = a. Выбранный интервал нужен, чтобы одному числу a соответствовало только одно значение обратной функции.

Решениями уравнения tg x = a являются все числа x = arctg a + πk, где k ∈ ℤ. Число arctg a даёт один основной угол, а πk добавляет к нему целое количество периодов тангенса. Поэтому формула описывает не один корень, а всю бесконечную последовательность решений.

Решения уравнения ctg x = a записывают в виде x = arcctg a + πk, где k ∈ ℤ. Здесь начальный угол берут через арккотангенс, потому что исходная функция — котангенс. Прибавление πk не меняет значения котангенса и позволяет получить все корни.

Как это устроено

Интервал (−π/2; π/2) выбирают для арктангенса не случайно. На нём тангенс возрастает от −∞ до +∞ и не повторяет своих значений, поэтому каждое действительное число встречается ровно один раз. Если разрешить весь числовой ряд, одно и то же значение имело бы бесконечно много углов, и обратная функция перестала бы быть однозначной.

Для арккотангенса используют интервал (0; π), потому что на нём котангенс непрерывен и строго убывает от +∞ до −∞. Значит, каждое действительное значение котангенса также получается ровно при одном угле из этого интервала. В частности, при отрицательном a значение arcctg a обязательно лежит между π/2 и π, а не между −π/2 и 0.

Чтобы решить tg x = a, сначала находят единственный угол arctg a на основном интервале. Но тангенс повторяет значения через π: tg(x + π) = tg x. Поэтому к основному углу прибавляют все числа вида πk и получают x = arctg a + πk, k ∈ ℤ.

Для уравнения ctg x = a рассуждение такое же, но исходная функция и обратная к ней другие. Сначала выбирают arcctg a из интервала (0; π), затем используют периодичность: ctg(x + πk) = ctg x. Отсюда получается формула x = arcctg a + πk, k ∈ ℤ; запись k ∈ ℤ обязательна, поскольку нужно учесть все целые количества периодов.

Арктангенс, арккотангенс и решения уравнений

В первых двух столбцах таблицы ищут основной угол и его допустимый интервал. Последний столбец используют, когда требуется найти все решения уравнения, а не только один угол. При решении на отрезке к общей формуле добавляют условие на x и отбирают подходящие целые k.

Разбор задач

1. Решите уравнение tg x = 1.

Нужно найти угол, тангенс которого равен 1, а затем учесть повторение значений через π. Основное значение выбираем из интервала (−π/2; π/2). После этого записываем все углы, а не только главный.

1. Так как tg(π/4) = 1, получаем arctg 1 = π/4.
2. Используем общий вид решения: x = arctg 1 + πk.
3. Подставляем найденное значение и получаем x = π/4 + πk, k ∈ ℤ.

Ответ: x = π/4 + πk, k ∈ ℤ.

2. Решите уравнение ctg x = −√3.

Сначала определим угол с котангенсом −√3. Поскольку значение отрицательное, искомый угол arcctg(−√3) должен находиться во второй четверти, то есть между π/2 и π. Это помогает не перепутать арккотангенс с арктангенсом.

1. Знаем, что ctg(5π/6) = cos(5π/6) / sin(5π/6) = (−√3/2) / (1/2) = −√3.
2. Угол 5π/6 принадлежит интервалу (0; π), поэтому arcctg(−√3) = 5π/6.
3. Записываем все решения: x = 5π/6 + πk, k ∈ ℤ.

Ответ: x = 5π/6 + πk, k ∈ ℤ.

3. Решите на отрезке [−π; 2π] уравнение tg x = −1.

Сначала найдём общее решение, а затем ограничим его данным отрезком. Основное значение arctg(−1) равно −π/4, потому что оно лежит в интервале (−π/2; π/2). Теперь нужно проверить целые k, а также границы отрезка.

1. Записываем общее решение: x = −π/4 + πk, k ∈ ℤ.
2. Требуем −π ≤ −π/4 + πk ≤ 2π. После деления на π получаем −3/4 ≤ k ≤ 9/4.
3. Подходят целые k: 0, 1, 2. При них x равны −π/4, 3π/4 и 7π/4.
4. Граничные значения −π и 2π в формулу не попадают. Следовательно, других корней на отрезке нет, поскольку все решения уже представлены общей формулой.

Ответ: x ∈ {−π/4; 3π/4; 7π/4}.

Типичные ошибки

Ошибка: записать arctg a как единственное решение tg x = a. Её допускают, когда путают основной угол со всеми корнями уравнения. Проверка: после найденного угла обязательно добавьте πk и убедитесь, что k принимает все целые значения.

Ошибка: выбирать arcctg a из интервала (−π/2; π/2). Так происходит из-за переноса правила для арктангенса на другую функцию. Проверьте себя по условию arcctg a ∈ (0; π), особенно если a отрицательно.

Ошибка: использовать одну и ту же обратную функцию в обоих уравнениях. Тангенсу соответствует arctg, а котангенсу — arcctg, хотя период у обеих функций одинаков. Для проверки сопоставьте вид функции в условии с обозначением в формуле.

Ошибка: оставить все целые k при решении на отрезке или отбросить допустимые значения. Причина — отсутствие проверки каждого кандидата по границам заданного промежутка. Сначала решите двойное неравенство для k, затем подставьте найденные целые числа обратно.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно знать определения тангенса и котангенса, их области определения и период π. Без этого трудно понять, почему к основному углу добавляют именно πk. Полезно также помнить значения функций на основных углах.

Работа с арктангенсом и арккотангенсом требует уверенного обращения с интервалами и неравенствами. По знаку значения можно определить четверть, в которой находится основной угол. Это особенно важно при нахождении arcctg отрицательного числа.

Обратные тригонометрические функции используются в более сложных тригонометрических уравнениях. Сначала выражение сводят к виду tg x = a или ctg x = a, а затем применяют соответствующую формулу общего решения. Позже эти навыки понадобятся при исследовании функций и построении графиков.

Что запомнить

• arctg a ∈ (−π/2; π/2), а tg(arctg a) = a.
• arcctg a ∈ (0; π), а ctg(arcctg a) = a.
• Все решения уравнения tg x = a имеют вид x = arctg a + πk, k ∈ ℤ.
• Все решения уравнения ctg x = a имеют вид x = arcctg a + πk, k ∈ ℤ.
• Период тангенса и котангенса равен π.
• Значение арккотангенса выбирают в интервале (0; π), в том числе когда a < 0.