"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Арксинус помогает найти угол по известному значению синуса: arcsin a — это угол от −π/2 до π/2, синус которого равен a. Он определён только при −1 ≤ a ≤ 1. С его помощью записывают все решения уравнения sin t = a: обычно это две серии углов, повторяющиеся через 2π. Разберём, откуда берутся эти формулы, как применять их на заданном промежутке и как не потерять часть корней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арксинус числа a — это угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a; его обозначают arcsin a. Иными словами, arcsin помогает восстановить угол по значению синуса. Например, arcsin(½) = π/6, потому что sin(π/6) = ½. Ограничение на угол позволяет выбрать одно определённое значение, а не несколько подходящих углов.
Область определения арксинуса — отрезок [−1; 1]. Это следует из того, что синус любого действительного угла не бывает меньше −1 или больше 1. Поэтому выражение arcsin a имеет действительное значение только при −1 ≤ a ≤ 1. Это условие нужно проверять до вычислений.
Основное значение арксинуса — единственное число arcsin a из [−π/2; π/2], для которого sin(arcsin a) = a. Слово «основное» подчёркивает, что речь идёт именно об одном выбранном угле, а не обо всех углах с таким синусом. Это значение служит отправной точкой, когда нужно записать решения тригонометрического уравнения.
Уравнение sin t = a — тригонометрическое уравнение, в котором требуется найти все углы t с заданным синусом a. Оно имеет действительные решения только при |a| ≤ 1. Параметр t может быть любым действительным числом, а полный ответ обычно включает бесконечное число корней из-за периодичности синуса.
На всей числовой прямой синус не принимает каждое значение только один раз: например, sin 0 = sin π = 0. Поэтому обратное действие нельзя определить для синуса сразу на всей прямой — одному значению соответствовали бы разные углы. Чтобы получить однозначную обратную функцию, берут отрезок [−π/2; π/2]. На нём синус возрастает от −1 до 1 и ни разу не повторяет значение, так что каждому числу из этого диапазона соответствует ровно один угол.
Чтобы найти arcsin a, надо отыскать угол в выбранном отрезке, синус которого равен a. Для табличных значений это можно сделать по известным углам: sin(π/6) = ½, значит, arcsin(½) = π/6. Знак числа тоже подсказывает знак угла: на данном отрезке синус сохраняет знак угла. Если точного табличного значения нет, арксинус можно приближённо найти калькулятором, выбрав режим радиан или градусов.
Если |a| > 1, уравнение sin t = a не имеет действительных корней. Причина в том, что синус любого действительного угла всегда находится между −1 и 1, а требуемое значение лежит за этими границами. Например, равенство sin t = 1,2 невозможно. Проверка диапазона избавляет от попыток искать углы там, где их нет.
При |a| ≤ 1 обозначим α = arcsin a. Один угол с нужным синусом — α, а второй в пределах периода — π − α: равенство sin(π − α) = sin α следует из симметрии синуса. Так возникают две серии всех решений: t = arcsin a + 2πk или t = π − arcsin a + 2πk, где k — любое целое число. К каждому углу добавляют целое число полных периодов, потому что период синуса равен 2π.
Две серии обычно дают разные углы, так как за один период заданный уровень синуса пересекается графиком в двух точках. На единичной окружности этим точкам соответствуют одинаковые вертикальные координаты и одинаковое расстояние от оси симметрии. При a = 1 или a = −1 график достигает максимума или минимума, поэтому две серии с учётом периодичности описывают одни и те же корни. Их можно оставить в общей записи или объединить в одну серию.
| Случай | Основное значение arcsin a | Решения уравнения sin t = a |
|---|---|---|
| −1 < a < 1 | α = arcsin a | t = α + 2πk или t = π − α + 2πk |
| a = 1 | π/2 | t = π/2 + 2πk |
| a = −1 | −π/2 | t = −π/2 + 2πk |
| |a| > 1 | Не определён в действительных числах | Действительных решений нет |
| Область значений arcsin a | [−π/2; π/2] | — |
Сначала проверьте, лежит ли a в отрезке [−1; 1], затем найдите основное значение и подставьте его в нужную строку формулы. В общей записи k принимает все целые значения, а на заданном промежутке оставляют только попадающие в него корни. Для крайних значений a = ±1 достаточно одной серии.
Правая часть равна ½ и лежит в допустимом диапазоне, значит, решения существуют. Основное значение равно arcsin(½) = π/6.
Записываем первую серию: t = π/6 + 2πk. Она включает сам основной угол и все его повторения через полные обороты.
Для второй серии используем угол π − π/6 = 5π/6. Получаем t = 5π/6 + 2πk.
Ответ: t = π/6 + 2πk или t = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Основное значение arcsin(−√2/2) = −π/4. Первая серия корней: t = −π/4 + 2πk, вторая: t = π − (−π/4) + 2πk = 5π/4 + 2πk.
Теперь отбираем корни на отрезке [0; 2π]. В первой серии при k = 0 получаем −π/4, что меньше нуля, а при k = 1 — 7π/4, что подходит. Во второй серии при k = 0 получаем 5π/4; при соседних целых k корни уже выходят за границы отрезка.
Проверяем оба оставшихся угла: sin(7π/4) = −√2/2 и sin(5π/4) = −√2/2. Оба принадлежат заданному промежутку.
Ответ: t = 5π/4 и t = 7π/4.
Сначала рассматриваем выражение в скобках как отдельный угол: положим t = 2x − π/3. Для уравнения sin t = −½ основное значение равно −π/6.
По общей формуле получаем t = −π/6 + 2πk или t = π − (−π/6) + 2πk = 7π/6 + 2πk, где k ∈ Z. Это обе серии углов с синусом −½.
Возвращаемся к x. Из 2x − π/3 = −π/6 + 2πk следует 2x = π/6 + 2πk, поэтому x = π/12 + πk. Из 2x − π/3 = 7π/6 + 2πk получаем 2x = 3π/2 + 2πk, значит, x = 3π/4 + πk.
Ответ: x = π/12 + πk или x = 3π/4 + πk, k ∈ Z. Целый параметр сохраняется в обеих сериях, поскольку каждая получена из общей формулы решений для t.
Ошибка: считать, что arcsin a может быть любым углом, синус которого равен a. Так происходит, если забыть, что арксинус обозначает только основное значение из [−π/2; π/2]. Проверяйте ответ: угол, полученный именно как arcsin, должен лежать в этом отрезке; остальные подходящие углы относятся к решениям уравнения.
Ошибка: применять arcsin к числу с |a| > 1 в действительных числах. Иногда ученик путает диапазон аргументов арксинуса с его диапазоном значений или просто не проверяет число. Перед вычислением убедитесь, что −1 ≤ a ≤ 1; если условие нарушено, действительных корней у sin t = a тоже нет.
Ошибка: записывать только t = arcsin a + 2πk. Так упускается угол π − arcsin a, потому что одно и то же значение синуса обычно достигается дважды за период. Проверка проста: нарисуйте единичную окружность или подставьте вторую серию в уравнение; если она даёт нужный синус, без неё ответ неполон.
Ошибка: добавлять к корням период π вместо 2π. Хотя за период обычно есть две точки с заданным синусом, само значение синуса повторяется через 2π, а не через π: при сдвиге на π знак синуса меняется. Поэтому записывайте две серии с шагом 2π и проверяйте подстановкой, что каждый найденный угол подходит.
Для работы с арксинусом нужны значения синуса, его диапазон [−1; 1], периодичность и симметрия на единичной окружности. Это знание помогает объяснить, почему существует основное значение и откуда берутся две серии корней. Формулы для sin t = a применяются в более сложных тригонометрических уравнениях и неравенствах, в том числе после замены выражения на отдельную переменную. Арксинус входит в семейство обратных тригонометрических функций наряду с арккосинусом и арктангенсом.
Почему значение арксинуса всегда лежит между −π/2 и π/2?
На всей числовой прямой синус повторяет значения, поэтому по одному значению нельзя однозначно определить угол. На отрезке [−π/2; π/2] синус возрастает и принимает каждое значение от −1 до 1 ровно один раз. Поэтому именно этот отрезок выбирают для значений арксинуса.
Как найти arcsin числа, если его нет в таблице значений?
Нужно найти угол из [−π/2; π/2], синус которого равен данному числу. Если точное значение определить не удаётся, можно использовать калькулятор в режиме радиан или приблизительно найти угол по графику либо единичной окружности. Например, arcsin 0,4 — это угол примерно 0,412 радиана.
Почему у уравнения sin t = a обычно две серии решений?
За один период синус обычно принимает одно и то же значение в двух точках. Если α = arcsin a, эти углы задаются как α и π − α, а все повторения получаются добавлением 2πk. При a = 1 или a = −1 две серии совпадают с учётом периодичности.
Что происходит с формулой решений при a = 1 или a = −1?
При a = 1 получаем t = π/2 + 2πk, а при a = −1 — t = −π/2 + 2πk. Две общие серии в каждом случае описывают одни и те же углы, поэтому корни можно записать одной серией.
Как выбрать корни уравнения, если задан промежуток?
Сначала запишите обе серии корней с целым k, затем подставьте целые значения k, при которых полученные углы попадают в заданные границы. В конце проверьте принадлежность каждого выбранного корня промежутку. Границы включают только тогда, когда промежуток задан с квадратной скобкой.
§ 16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a
