"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Арккосинус помогает найти угол, если известен его косинус. Для числа a из отрезка [−1; 1] значение arccos a — единственный угол от 0 до π с косинусом a. Но уравнение cos t = a обычно имеет не одно, а бесконечно много решений: t = ± arccos a + 2πk, где k — целое число. Разберём, откуда берётся эта формула и как применять её в задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арккосинус числа a — число из отрезка [0; π], косинус которого равен a; его обозначают arccos a, и он определён при −1 ≤ a ≤ 1. Иначе говоря, arccos a отвечает на вопрос: какой угол от 0 до π имеет косинус a? Это обозначение позволяет находить угол по известному значению косинуса.
Главное значение арккосинуса — единственное значение arccos a из промежутка [0; π]. Например, arccos(½) = π/3, потому что cos(π/3) = ½. Уточнение о главном значении нужно, чтобы не смешивать один выбранный угол со всеми углами, косинус которых равен a.
При |a| ≤ 1 общее решение уравнения cos t = a записывают так: t = ± arccos a + 2πk, где k — любое целое число. Эта формула перечисляет все углы, а не только главное значение; целое k учитывает повторение косинуса через полный оборот. Поэтому она нужна, когда требуется решить уравнение относительно переменной t.
Если |a| > 1, уравнение cos t = a не имеет действительных решений. Причина в том, что косинус любого действительного аргумента принадлежит отрезку [−1; 1]. Такая проверка сразу показывает, можно ли применять формулу общего решения.
Косинус нельзя просто обратить на всей числовой прямой: одна и та же величина косинуса получается при разных углах. Например, cos t = cos(−t), а периодичность добавляет ещё множество совпадающих значений. Чтобы обратная зависимость стала однозначной, выбирают отрезок [0; π], на котором косинус строго убывает. Тогда каждому значению косинуса соответствует ровно один угол, и этот угол называют арккосинусом.
На выбранном отрезке косинус непрерывно меняется от cos 0 = 1 до cos π = −1. Он не пропускает промежуточные значения и не повторяет ни одно из них, поэтому каждому a из [−1; 1] соответствует ровно одно значение arccos a. Значения арккосинуса, в свою очередь, лежат в [0; π], поскольку именно там выбирают аргумент обратной функции. За пределами [−1; 1] определить его нельзя: подходящего косинуса не существует.
График y = arccos x связан с графиком y = cos t на отрезке 0 ≤ t ≤ π. У графика косинуса на этом отрезке координаты можно представить как (t; cos t), а у обратной функции они меняются местами: (cos t; t). Такая перестановка координат отражает график относительно прямой y = x. По графику arccos x видно, что область определения равна [−1; 1], а множество значений — [0; π]; также он наглядно показывает убывание функции.
На единичной окружности косинус угла — это абсцисса точки, то есть её координата по горизонтали. Если −1 < a < 1, вертикальная прямая с абсциссой a обычно пересекает окружность в двух точках. Их углы за полный оборот можно записать как arccos a и −arccos a, поэтому в решении появляются знаки ±. На концах диапазона, при a = 1 или a = −1, две точки сливаются в одну.
Косинус повторяет значения после полного оборота, то есть через 2π, поэтому к найденным углам прибавляют 2πk. Здесь k может быть любым целым числом: положительным, отрицательным или нулём. При a = 1 углы двух ветвей совпадают и дают t = 2πk, а при a = −1 обе ветви дают t = π + 2πk. Это совпадение не означает, что одна из граничных серий решений потеряна.
| Случай | arccos a | Решения cos t = a |
|---|---|---|
| −1 < a < 1 | Определён; 0 < arccos a < π | t = ± arccos a + 2πk |
| a = 1 | 0 | t = 2πk |
| a = −1 | π | t = π + 2πk |
| a < −1 или a > 1 | Не определён | Действительных решений нет |
Сначала сравните a с границами −1 и 1, затем найдите главное значение арккосинуса, если оно определено. Для внутренних значений −1 < a < 1 запишите обе ветви и период, а на границах сразу используйте отдельные формулы. Если a выходит за допустимый отрезок, вычисления не нужны: действительных решений нет.
Сначала найдём главное значение: оно должно принадлежать отрезку [0; π]. Среди известных углов косинус π/3 равен ½, поэтому arccos(½) = π/3. Теперь уравнение имеет два семейства решений, поскольку ½ находится строго между −1 и 1; к ним нужно добавить период 2π.
Ответ: arccos(½) = π/3; t = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z. Главное значение здесь только π/3, тогда как решения уравнения включают обе серии углов. Проверка проста: косинус π/3 и косинус −π/3 равны ½, а прибавление 2πk не меняет косинус.
В роли аргумента косинуса здесь выступает не x, а 2x, поэтому сначала решим уравнение относительно этого выражения. Главное значение arccos(−√2/2) равно 3π/4: угол лежит в [0; π] и имеет нужный косинус. После записи обеих ветвей разделим равенство на 2, не забывая преобразовать и периодическое слагаемое.
Ответ: x = ±3π/8 + πk, k ∈ Z. Здесь период переменной x равен π, потому что исходный аргумент равен 2x. Подстановка полученной формулы удваивает x и возвращает углы ±3π/4 + 2πk, косинус которых равен −√2/2.
Параметр a может принимать любые действительные значения, поэтому сначала проверим, может ли он быть значением косинуса. Для этого сравним его с отрезком [−1; 1]. Внутри отрезка получаем две ветви общего решения, а на границах проверяем, не совпали ли эти ветви.
Ответ: при |a| > 1 решений нет; при −1 < a < 1 решения t = ± arccos a + 2πk; при a = 1 решения t = 2πk; при a = −1 решения t = π + 2πk, где k ∈ Z. Отдельная запись граничных случаев нужна, чтобы не считать совпавшие ветви двумя разными семействами. Для проверки можно подставить граничные углы в косинус или сравнить a с диапазоном значений функции.
Ошибка: считать, что arccos a определён при любом a. Так думают, если воспринимают арккосинус как формальную обратную операцию и забывают, что косинус ограничен значениями от −1 до 1. Перед вычислением проверьте условие −1 ≤ a ≤ 1. Если оно не выполняется, действительного значения арккосинуса нет.
Ошибка: записывать arccos a как все решения уравнения cos t = a. Причина в том, что знак обратной функции похож на запись уравнения, но арккосинус обозначает только одно главное значение из [0; π]. Для проверки спросите себя, требуется ли найти значение функции или решить уравнение. Во втором случае запишите все ветви и период.
Ошибка: забывать знак ± в общем решении. Для −1 < a < 1 окружность даёт два угла за оборот с одной абсциссой, и запись только arccos a оставляет половину решений. Проверьте себя, рассмотрев углы arccos a и −arccos a: их косинусы одинаковы. На границах a = ±1 ветви совпадают, но во внутренних случаях обе необходимы.
Ошибка: добавлять период π или вовсе пропускать 2πk. Период косинуса равен 2π, поэтому именно столько можно прибавлять к аргументу t без изменения значения функции. Проверьте запись заменой t на t + T: если косинус должен повториться для любого t, наименьший положительный период T равен 2π. Если аргументом является, например, 2x, после деления уравнения период для x может измениться.
Для этой темы нужно знать значения косинуса, его период и устройство единичной окружности. Также пригодится факт, что на [0; π] косинус убывает: именно он позволяет выбрать однозначное главное значение. Окружность объясняет, почему для одного значения косинуса обычно находятся два угла за полный оборот.
Арккосинус применяют в тригонометрических уравнениях, когда значение косинуса известно, а угол нужно найти. Он также помогает решать неравенства и находить угол между направлениями или элементами геометрической модели. При этом важно отличать главное значение функции от полного множества углов, которые удовлетворяют условию.
Почему арккосинус определён только на отрезке [−1; 1]?
Косинус любого действительного угла не бывает меньше −1 или больше 1. Поэтому числа вне отрезка [−1; 1] не могут быть косинусом действительного угла, а арккосинус для них не определён.
Почему значение arccos a всегда находится между 0 и π?
Арккосинус определяют как обратную функцию к косинусу, ограниченному отрезком [0; π]. На этом отрезке косинус строго убывает и принимает каждое значение от 1 до −1 ровно один раз, поэтому ответ выбирают именно из [0; π].
Чем arccos a отличается от решения уравнения cos t = a?
arccos a — одно число, главное значение из [0; π]. Уравнение cos t = a ищет все подходящие углы, поэтому при допустимом a его решения повторяются с периодом 2π и обычно образуют две серии.
Почему в общем решении уравнения появляются два знака?
На единичной окружности косинус — это абсцисса точки. При −1 < a < 1 одинаковую абсциссу имеют две точки за полный оборот, соответствующие углам arccos a и −arccos a.
Что происходит с решениями, если a равно 1 или −1?
При a = 1 обе ветви формулы совпадают и дают t = 2πk. При a = −1 они также совпадают и дают t = π + 2πk, где k — любое целое число.
§ 15. Арккосинус. Решение уравнения cos t = a
