§ 14. Функции у = tg ху у = ctg xy их свойства и графики

Определения и обозначения

Тангенсом числа x называется отношение синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x, если cos x ≠ 0. Это значит, что тангенс можно вычислять только там, где знаменатель не равен нулю. Такое определение позволяет находить значения функции и сразу устанавливать, для каких x она существует.

Котангенс числа x — отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x, если sin x ≠ 0. Здесь условие также запрещает деление на ноль, поэтому оно задаёт допустимые значения аргумента. Тангенс и котангенс связаны, но не являются взаимозаменяемыми: в их дробях синус и косинус стоят на разных местах.

Период функции — наименьшее положительное число T, при прибавлении которого к аргументу значение функции повторяется: f(x + T) = f(x). Период показывает, через какое расстояние график начинает повторяться. Для тангенса и котангенса таким числом служит π.

График функции y = f(x) — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют равенству y = f(x). Каждому допустимому x соответствует точка с координатами (x; f(x)). По графику можно увидеть значения функции, её нули, промежутки возрастания и места разрывов.

Как это устроено

Области определения следуют из знаменателей дробей. Косинус равен нулю при x = π/2 + πk, поэтому эти значения исключаются из области определения tg x. Синус равен нулю при x = πk, и именно там не существует ctg x; здесь k — любое целое число.

Чтобы найти период, прибавим к аргументу π. При этом sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x, значит, у тангенса оба знака в дроби меняются одновременно и отношение остаётся прежним. В дроби котангенса происходит то же самое, поэтому период обеих функций равен π, а не 2π.

Значения функций могут быть любыми действительными числами: в отношении синуса и косинуса можно получить любое конечное число, выбирая точку на единичной окружности, где знаменатель не равен нулю. Нули тангенса возникают, когда sin x = 0, то есть при x = πk. Нули котангенса возникают, когда cos x = 0, то есть при x = π/2 + πk. Из равенств sin(−x) = −sin x и cos(−x) = cos x следует, что обе функции нечётные: f(−x) = −f(x).

Между соседними точками разрыва функции непрерывны: небольшое изменение x вызывает небольшое изменение значения. Тангенс на каждом таком промежутке строго возрастает, а котангенс строго убывает; это можно обосновать производными 1/cos² x и −1/sin² x. У концов этих промежутков значения не достигают конечной границы, поэтому вертикальные прямые x = π/2 + πk для тангенса и x = πk для котангенса являются асимптотами.

Для построения графика сначала отметьте точки разрыва, а затем нули и опорные точки. У тангенса удобны точки (0; 0) и (±π/4; ±1), а у котангенса — (π/2; 0) и (π/4; 1). Проведите через них ветвь с правильным направлением и повторите её сдвигом на π вправо и влево.

Графики функций y = tg x и y = ctg x

Графики повторяются через π, но ведут себя по-разному внутри промежутков между асимптотами: тангенс возрастает, а котангенс убывает. Таблица помогает быстро сопоставить области определения, нули и другие свойства, а при построении сначала нанесите асимптоты и только потом ветви.

В формулах таблицы k — целое число. Промежутки для каждой функции повторяются с периодом π, поэтому достаточно подробно построить одну ветвь и перенести её.

Разбор задач

1. Область определения и период тангенса

Условие. Найти область определения функции y = tg x и указать её период. Нужно учесть, что функция задана отношением, а значит, знаменатель не может быть нулём. Затем проверим, при каком сдвиге отношение повторяется.

1. Запишем определение: tg x = sin x / cos x. Следовательно, требуется cos x ≠ 0.
2. Косинус равен нулю при x = π/2 + πk, где k ∈ Z. Эти значения исключаем: область определения — все действительные x, кроме π/2 + πk.
3. При сдвиге x на π знаки синуса и косинуса меняются одновременно, поэтому их отношение не меняется. Наименьший положительный период равен π.

Ответ: D(tg x) = {x ∈ R | x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z}; период T = π.

2. График котангенса на отрезке [−π; 2π]

Условие. Построить график y = ctg x на промежутке [−π; 2π]. Сначала определим, какие важные точки попадают на отрезок, и разобьём его точками разрыва на промежутки. На каждом из них ветвь котангенса убывает.

1. Точки разрыва задаются формулой x = πk. На отрезке это −π, 0, π и 2π; в них график не имеет точек, хотя −π и 2π являются концами заданного отрезка.
2. Нули находятся при x = π/2 + πk: получаем −π/2, π/2 и 3π/2. Опорная точка на каждой ветви — (π/4 + πk; 1), если она попадает в выбранный промежуток.
3. Между соседними асимптотами проведите убывающую ветвь: слева значения стремятся к +∞, справа — к −∞. Повторите её через π и оставьте точки разрыва незакрашенными.

Ответ: на заданном промежутке строятся три убывающие ветви между −π и 0, 0 и π, π и 2π; нули — −π/2, π/2, 3π/2.

3. Уравнение tg x = −1 на отрезке [−π; 2π]

Условие. Решить tg x = −1 при −π ≤ x ≤ 2π. Значение −1 тангенс принимает, например, при x = −π/4. Все остальные решения получаются сдвигом на период, после чего нужно проверить границы отрезка.

1. Запишем общее решение: x = −π/4 + πk, k ∈ Z. Это следует из периода π: прибавление любого целого числа периодов сохраняет значение тангенса.
2. Подставим целые k и оставим только x из [−π; 2π]. При k = 0 получаем −π/4, при k = 1 — 3π/4, при k = 2 — 7π/4.
3. При k = −1 аргумент равен −5π/4 и не подходит, а при k = 3 получается 11π/4, что больше 2π. Остальные целые k также дают значения вне отрезка.

Ответ: x = −π/4, 3π/4, 7π/4.

Типичные ошибки

Ошибка: считать период тангенса или котангенса равным 2π. Так бывает, если учитывать только период синуса и косинуса по отдельности, но при сдвиге на π оба меняют знак и отношение уже повторяется. Проверка: сравните f(x + π) и f(x); они равны.

Ошибка: включать в область определения точки π/2 + πk для тангенса или πk для котангенса. Обычно забывают, что делить на ноль нельзя. Проверка: подставьте подозрительное значение в знаменатель определения — он должен быть отличен от нуля.

Ошибка: считать точку разрыва нулём функции. График не пересекает ось x там, где сама функция не определена; нули находятся из условия sin x = 0 для тангенса или cos x = 0 для котангенса. Проверка: убедитесь, что найденный аргумент входит в область определения и значение функции действительно равно нулю.

Ошибка: рисовать только одну ветвь или направлять ветви обеих функций одинаково. Периодичность требует повторения через π, а котангенс убывает, в отличие от возрастающего тангенса. Проверка: на каждой ветви проследите, меняются ли значения в верном направлении при движении слева направо.

Связь с другими темами

Для работы с тангенсом и котангенсом нужны определения синуса и косинуса, их периодичность и значения на основных углах; расположение точек на единичной окружности помогает представить эти значения. Свойства функций опираются на понятия области определения, нуля, чётности, периода и графика. Позже тангенс и котангенс встретятся при решении тригонометрических уравнений и неравенств, а также при преобразованиях графиков.

Что запомнить

• tg x = sin x / cos x, если cos x ≠ 0.
• ctg x = cos x / sin x, если sin x ≠ 0.
• Период каждой функции равен π.
• tg x и ctg x — нечётные функции.
• Множество значений обеих функций — все действительные числа.
• На каждом промежутке непрерывности тангенс возрастает, а котангенс убывает.
• Точки разрыва tg x: π/2 + πk; точки разрыва ctg x: πk.