"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
График синуса или косинуса можно получить из знакомого графика сдвигами, растяжениями, сжатиями и отражениями. Такие преобразования помогают быстро строить более сложные тригонометрические функции и находить их свойства без составления большой таблицы значений. Главное — различать действие множителя перед функцией и множителя при аргументе: первый меняет ординаты, второй — абсциссы и период. После преобразований полезно проверить характерные точки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вертикальный сдвиг графика y = f(x) на b единиц задаётся формулой y = f(x) + b: при b > 0 график поднимается, а при b < 0 опускается. Координата x каждой точки остаётся прежней, а её координата y меняется на b. Это преобразование нужно, чтобы переместить весь график, не меняя его форму.
Горизонтальный сдвиг задаётся формулой y = f(x − a): при a > 0 график перемещается вправо на a, при a < 0 — влево на |a|. Абсцисса каждой характерной точки увеличивается на a. Такое правило помогает правильно читать знак внутри аргумента, который действует не так, как знак вертикального сдвига.
В формуле y = kf(x) расстояния точек от оси Ox умножаются на |k|. При |k| > 1 получается вертикальное растяжение, при 0 < |k| < 1 — сжатие, а если k < 0, график дополнительно отражается относительно Ox. Это позволяет менять высоту волн синусоиды или косинусоиды.
В формуле y = f(kx) абсциссы точек исходного графика делятся на k. При |k| > 1 график сжимается по горизонтали, а при 0 < |k| < 1 растягивается; отрицательный k также даёт отражение относительно Oy. Правило нужно, чтобы определить изменение ширины периодического графика и его периода.
При переходе от y = f(x) к y = f(x) + b к любому результату функции прибавляется одно и то же число. Поэтому при неизменном x ордината каждой точки увеличивается на b, а абсцисса остаётся прежней. Например, максимум и минимум синусоиды тоже поднимутся на b, но расстояние между ними и период не изменятся.
В выражении f(x − a) график определяется значением функции в точке x − a. Чтобы получить то же значение, которое было у f(x) при старой абсциссе x, новая абсцисса должна удовлетворять равенству xнов − a = x. Отсюда xнов = x + a: точки сдвигаются вправо при положительном a, хотя внутри скобок стоит минус.
Множитель перед функцией меняет именно результат вычисления, то есть ординату. Если y исходного графика равен 1, то у графика y = kf(x) ордината станет k; если k отрицательно, она окажется по другую сторону от оси Ox. Поэтому модуль k задаёт вертикальный масштаб, а знак — направление отражения.
Множитель при x действует иначе: для получения прежнего значения функции нужно решить уравнение kxнов = x. Значит, абсцисса новой точки равна прежней абсциссе, делённой на k. У синусоиды f(x) с периодом T повторение f(kx) наступает, когда kx увеличивается на T, поэтому период становится T/|k|.
Если в формуле несколько изменений, полезно рассматривать их по частям: сначала определить преобразование аргумента, затем — изменение значений функции и вертикальный сдвиг. Для проверки выберите знакомые точки исходного графика и перенесите их по правилам, не теряя их координаты. У периодической функции дополнительно проверьте, согласуется ли полученная ширина одного полного повторения с периодом.
| Формула | Изменение графика | Что происходит с характерными точками |
|---|---|---|
| y = f(x) + b | Сдвиг вверх при b > 0, вниз при b < 0 | Ордината увеличивается на b |
| y = f(x − a) | Сдвиг вправо при a > 0, влево при a < 0 | Абсцисса увеличивается на a |
| y = kf(x) | Вертикальное растяжение при |k| > 1, сжатие при 0 < |k| < 1 | Ордината умножается на k |
| y = f(kx) | Горизонтальное сжатие при |k| > 1, растяжение при 0 < |k| < 1 | Абсцисса делится на k |
| y = −f(x) и y = f(−x) | Отражение соответственно относительно Ox и Oy | Меняется знак ординаты или абсциссы |
Найдите в формуле знакомые части и определите, какие координаты они меняют: значения функции отвечают за вертикальные действия, аргумент — за горизонтальные. Затем перенесите характерные точки синуса или косинуса и соедините их плавной кривой. Для проверки сравните период и расположение максимума и минимума с ожидаемыми.
Условие. Постройте график y = sin x + 2, используя график y = sin x. В исходной синусоиде характерные точки на одном периоде: (0; 0), (π/2; 1), (π; 0), (3π/2; −1), (2π; 0). Число 2 прибавлено вне аргумента, поэтому меняются ординаты, а абсциссы остаются прежними.
Ответ: график y = sin x сдвинут вверх на 2; период остаётся 2π, область определения — все действительные числа. Значения новой функции лежат от 1 до 3.
Условие. Постройте график и укажите период и характерные точки функции y = cos(x − π/3). У косинуса максимум при аргументе 0, нули при π/2 и 3π/2, минимум при π. Выражение x − π/3 задаёт горизонтальный сдвиг, поэтому форму и период исходного графика менять не нужно.
Ответ: период равен 2π; график — косинусоида, сдвинутая вправо на π/3. Указанные точки повторяются с шагом 2π по оси x.
Условие. Постройте график, определите его период, амплитуду и множество значений. В исходной функции синус имеет амплитуду 1 и период 2π. В новой формуле аргумент умножен на 3, ординаты — на −2, а затем прибавлено 1.
Ответ: период 2π/3, амплитуда 2, множество значений [−1; 3]. Например, при x = 0 значение равно 1, а при x = π/6 синус равен 1, поэтому значение функции равно −1.
Ошибка: сдвигать y = f(x − a) влево, потому что внутри аргумента стоит минус. Причина в том, что знак в скобках принимают за прямое указание направления, хотя абсцисса точки должна увеличиться на a. Проверьте правило на максимуме косинуса: у cos(x − a) он находится при x = a, то есть справа от нуля при a > 0.
Ошибка: считать, что замена x на 2x растягивает график по горизонтали. На деле абсциссы характерных точек делятся на 2, поэтому точки сближаются и график сжимается. Самопроверка для синуса: период sin 2x равен π, а не 4π.
Ошибка: смешивать y = kf(x) и y = f(kx). В первом случае изменяются ординаты, а во втором — абсциссы и период; путаница возникает из-за похожего расположения множителя в записи. Для проверки отметьте, где именно стоит k: перед функцией или при x, и отдельно пересчитайте координаты точки.
Ошибка: при отрицательном k учитывать только растяжение или сжатие. Отрицательный знак меняет знак координаты, которая преобразуется: в y = kf(x) это ордината и отражение относительно Ox, а в y = f(kx) — абсцисса и отражение относительно Oy. Проверьте, с какой осью совпадает симметрия полученных характерных точек.
Для построения преобразованных графиков нужно уметь строить синус и косинус, знать их периоды и характерные точки. Эти знания позволяют переходить от простых тригонометрических функций к более сложным и находить их свойства по графику. Такие построения применяют при исследовании функций, а также при графическом решении тригонометрических уравнений и неравенств. Сдвиги и изменение периода помогают увидеть расположение корней и промежутки, где функция принимает нужные значения.
Почему график y = sin(x − a) сдвигается вправо, хотя в формуле стоит минус?
Чтобы получить прежнее значение синуса sin x, в новой формуле аргумент x − a должен равняться прежнему x. Значит, новое значение переменной нужно увеличить на a, поэтому график смещается вправо.
Как быстро определить, растянется или сожмётся график при замене x на 2x?
Множитель 2 стоит при аргументе, поэтому меняются абсциссы: они делятся на 2. График сжимается по горизонтали в 2 раза, а период становится вдвое меньше.
Меняется ли период синусоиды при вертикальном сдвиге?
Нет. Прибавление числа к функции меняет каждую ординату на одно и то же число, но не расстояние по горизонтали между повторениями графика.
Что происходит с графиком, если перед функцией стоит отрицательный множитель?
Ординаты умножаются на отрицательное число, поэтому график отражается относительно оси Ox. Если модуль множителя больше 1, одновременно происходит вертикальное растяжение, а если меньше 1 — сжатие.
В каком порядке выполнять несколько преобразований графика?
Сначала определите, как изменён аргумент: это покажет сдвиг или изменение абсцисс. Затем учтите множитель перед функцией и число, прибавленное вне аргумента. В конце проверьте результат по характерным точкам и периоду.
§ 13. Преобразования графиков тригонометрических функций
