§ 12. Периодичность функций у = sin х> у = cos x

Определения и обозначения

Период функции — ненулевое число T, при сдвиге на которое значения функции повторяются: f(x + T) = f(x) для всех x из области определения, для которых выражение определено. Например, если T — период, то график после сдвига по оси x на T совпадает с исходным. Это определение позволяет проверять повторяемость не на отдельных примерах, а сразу для всех допустимых аргументов.

Периодическая функция — функция, имеющая ненулевой период. Один период уже гарантирует, что значения функции повторяются снова и снова при последовательных сдвигах на него. Понятие помогает находить закономерность в функции и описывать её график, не изучая каждый участок отдельно.

Основной период — наименьший положительный период функции, если такой период существует. У одной функции могут быть и другие периоды, но основной показывает наименьший шаг, после которого повторяется вся картина. Например, если основной период равен 2π, то 4π тоже будет периодом, но не основным.

Как это устроено

Синус и косинус удобно связывать с точкой, которая движется по единичной окружности. При угле x её координаты равны cos x и sin x соответственно. Когда точка обходит окружность полностью, она возвращается в исходное положение, поэтому обе координаты снова принимают прежние значения. Именно геометрическое возвращение точки объясняет повторяемость функций.

Полный оборот измеряется углом 2π радиан. Значит, углам x и x + 2π соответствует одна и та же точка окружности, а её координаты совпадают. Отсюда следуют равенства sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x для любого действительного x. Следовательно, 2π — период и синуса, и косинуса.

Можно сделать не один, а несколько полных оборотов. Если k — целое число, то сдвиг на 2πk соответствует k полным оборотам; при отрицательном k движение идёт в обратную сторону. Поэтому sin(x + 2πk) = sin x и cos(x + 2πk) = cos x. При k ≠ 0 число 2πk является периодом, а при k = 0 сдвига нет, поэтому ноль периодом не считают.

Чтобы обосновать, что положительный период не может быть меньше 2π, недостаточно проверить только одно значение x: нужно, чтобы равенство выполнялось при всех x. Для синуса, например, значение sin 0 = 0 впервые повторяется при положительном угле 2π; между 0 и 2π синус не равен нулю при всех аргументах, а значит, такой сдвиг не может быть периодом. Аналогично для косинуса: cos 0 = 1, и до полного оборота это значение не повторяется. Поэтому наименьший положительный период обеих функций — 2π.

На графике периодичность видна как повтор одной и той же формы через равные промежутки вдоль оси x. У синусоиды и косинусоиды каждый участок длиной 2π воспроизводит следующий участок. Высота волн при этом остаётся в пределах от −1 до 1, а период отвечает именно за расстояние повторения по горизонтали. Для сравнения графиков полезно отмечать на оси x точки, разделённые на 2π.

Периодичность функций синуса и косинуса

Сначала по таблице можно проверить, где функция определена и какие значения принимает, а затем сравнить периоды. Строка «Периоды» перечисляет не только основной период, но и все остальные ненулевые периоды. Если требуется именно основной период, выбирайте наименьшее положительное число из этого набора.

Разбор задач

Задача 1. Проверьте, является ли число 2π периодом функции y = sin x.

Проверка периода состоит в подстановке x + T вместо x и сравнении результата с исходным значением. Здесь T = 2π, поэтому нужно проверить равенство sin(x + 2π) = sin x при любом x. Аргумент x + 2π соответствует тому же положению на окружности после полного оборота.

1. Подставим x + 2π в функцию: sin(x + 2π).
2. Используем повторение координаты точки после полного оборота: sin(x + 2π) = sin x.
3. Равенство верно при любом действительном x, значит, условие периода выполнено.

Ответ: 2π является периодом функции y = sin x. Проверка показывает именно период, но сама по себе ещё не доказывает, что он наименьший положительный.

Задача 2. Найдите наименьший положительный период функции y = cos x.

Нужно найти не просто любой сдвиг, возвращающий значения, а наименьший положительный. При полном обороте на окружности косинус принимает прежнее значение, поэтому 2π — период. Осталось убедиться, что положительного периода меньше 2π нет.

1. Запишем равенство периодичности: cos(x + 2π) = cos x. Значит, число 2π подходит.
2. При x = 0 имеем cos 0 = 1. На промежутке от 0 до 2π косинус не возвращается к значению 1 при меньшем положительном угле.
3. Следовательно, ни один положительный сдвиг меньше 2π не сохраняет значения функции для всех x.

Ответ: наименьший положительный период функции y = cos x равен 2π. Любое кратное 2π с ненулевым целым коэффициентом тоже будет периодом, но положительные кратные больше 2π не являются основными.

Задача 3. Докажите, что 4π является периодом функции y = sin x, но не является её наименьшим положительным периодом.

Чтобы доказать, что 4π — период, проверим равенство при сдвиге аргумента на 4π. Затем отдельно сравним это число с основным периодом: одного доказательства периодичности недостаточно, чтобы назвать число наименьшим. Число 4π — это два полных оборота, поэтому значения синуса должны повториться.

1. Представим 4π как 2 · 2π.
2. Подставим x + 4π: sin(x + 4π) = sin((x + 2π) + 2π) = sin(x + 2π) = sin x.
3. Равенство верно при любом x, значит, 4π — период.
4. Поскольку наименьший положительный период синуса равен 2π и 2π < 4π, число 4π не является наименьшим.

Ответ: 4π — период функции y = sin x, но не её наименьший положительный период. Основной период равен 2π.

Типичные ошибки

Ошибка — называть периодом только наименьший положительный период. Так путают два понятия: периодом является любое ненулевое число, сохраняющее значения функции при сдвиге, а основной период — лишь наименьший положительный. Проверяйте, сформулировано ли в задаче требование найти именно основной период. Для синуса и косинуса периодами служат все числа 2πk при целом k ≠ 0.

Иногда π считают периодом синуса или косинуса, потому что π связан с половиной оборота. Но за такой поворот точка окружности оказывается напротив исходной, и координаты меняют знак: sin(x + π) = −sin x, cos(x + π) = −cos x. Чтобы проверить себя, подставьте, например, x = π/2: синус до сдвига равен 1, а после — −1. Значения не совпали, значит, π не период.

Не путайте период с амплитудой. Период показывает, на какое расстояние по оси x сдвигается график до повторения, а амплитуда связана с его вертикальным размахом; у синуса и косинуса амплитуда равна 1. Ошибка возникает из-за того, что обе характеристики описывают форму волны, но отвечают за разные направления. Спросите себя: речь идёт о расстоянии по горизонтали или о высоте колебаний?

Нельзя проверять период только на нескольких выбранных x. Совпадение значений в отдельных точках ещё не доказывает, что f(x + T) = f(x) для всех допустимых аргументов. Чтобы избежать ошибки, преобразуйте выражение символически или обоснуйте результат свойством функции. У синуса и косинуса период подтверждается равенством для произвольного x.

Связь с другими темами

Для понимания периодичности нужны единичная окружность и радианная мера угла: полный оборот на ней равен 2π. Также следует помнить, что синус и косинус — координаты точки окружности; тогда повторение их значений получает геометрическое объяснение. Если эти связи понятны, равенства периодичности не приходится заучивать без смысла.

Понятие периода пригодится при построении и чтении графиков тригонометрических функций. Оно также помогает исследовать функции, полученные сдвигом или растяжением исходного графика: преобразование может изменить длину участка, через который рисунок повторяется. Поэтому умение находить период станет опорой для дальнейшего изучения тригонометрических графиков.

Что запомнить

• Функция периодическая, если её значения повторяются через ненулевой сдвиг аргумента.
• Для синуса sin(x + 2π) = sin x.
• Для косинуса cos(x + 2π) = cos x.
• Наименьший положительный период синуса равен 2π.
• Наименьший положительный период косинуса равен 2π.
• Любое ненулевое число вида 2πk, где k — целое, является периодом синуса и косинуса.