"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Косинус каждому действительному числу x ставит в соответствие абсциссу точки на единичной окружности, полученной поворотом на угол x. Поэтому функция y = cos x определена при любом x, а её значения лежат от −1 до 1. Косинус чётный и повторяется через 2π. Зная эти свойства и значения в ключевых точках, можно построить косинусоиду, находить промежутки знакопостоянства и решать простейшие уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = cos x — соответствие, при котором каждому действительному числу x ставится в соответствие значение косинуса этого числа. Иными словами, x задаёт угол, а y показывает косинус этого угла. Такое обозначение помогает изучать зависимость значения косинуса от угла и изображать её графиком.
Область определения функции — множество всех допустимых значений аргумента x. Для y = cos x это все действительные числа: угол может быть любым. Знание области определения нужно, чтобы понимать, при каких x имеет смысл вычислять функцию.
Множество значений функции — все значения y, которые она принимает. Для косинуса это отрезок [−1; 1], то есть меньше −1 и больше 1 значения быть не могут. Это свойство позволяет проверять вычисления и выбирать допустимые ответы уравнений.
Период функции — ненулевое число T, при котором f(x + T) = f(x) для всех x из области определения. Наименьший положительный период косинуса равен 2π. Период показывает, через какой промежуток график и значения функции начинают повторяться.
Чтобы определить cos x, на единичной окружности поворачивают радиус на угол x и смотрят на полученную точку. Косинус равен абсциссе этой точки — её координате по горизонтали. Поворот можно выполнить для любого действительного угла, в том числе отрицательного или большего 2π, поэтому косинус можно определить при любом x.
У каждой точки единичной окружности абсцисса находится между −1 и 1: окружность имеет радиус 1 и не выходит за вертикальные прямые x = −1 и x = 1. При этом крайние значения достигаются в крайних точках окружности. Поэтому область значений косинуса — весь отрезок [−1; 1], а не все действительные числа.
Углам x и −x на окружности соответствуют точки, симметричные относительно горизонтальной оси Ox. При таком отражении горизонтальная координата не меняется, хотя вертикальная меняет знак. Значит, cos(−x) = cos x: функция является чётной, а её график симметричен относительно оси Oy.
Поворот на 2π — это полный оборот, после которого точка возвращается туда, откуда начала движение. Поэтому cos(x + 2π) = cos x при любом x. Меньший положительный отрезок повторения не подходит: за пол-оборота, то есть при прибавлении π, точка оказывается напротив исходной и её абсцисса меняет знак.
Для построения графика сначала отмечают значения в точках 0, π/2, π, 3π/2 и 2π: 1, 0, −1, 0 и 1. Эти точки соединяют плавной кривой, учитывая, что на отрезке [0; π] косинус убывает, а на [π; 2π] возрастает. Затем кривую продолжают в обе стороны: периодичность повторяет её через 2π, а чётность делает левую часть зеркальным отражением правой.
На графике хорошо видны вершины косинусоиды: значение 1 функция принимает в точках максимума, а −1 — в точках минимума. Между соседними вершинами график монотонно изменяется, а нули находятся там, где кривая пересекает ось Ox. Эти ориентиры помогают не только строить график, но и читать по нему решения уравнений и неравенств.
Таблица собирает свойства косинуса и указывает формулы, по которым можно находить нужные значения и промежутки. В строках с k учитываются все целые числа, поэтому запись охватывает повторяющиеся участки графика. Для работы с конкретным заданием выбери нужное свойство и подставь целое k либо рассмотри один период.
| Свойство | Характеристика | Формула или значения |
|---|---|---|
| Область определения | Все действительные числа | x ∈ R |
| Множество значений | От −1 до 1 включительно | −1 ≤ cos x ≤ 1 |
| Чётность | Чётная функция | cos(−x) = cos x |
| Периодичность | Наименьший положительный период — 2π | cos(x + 2πk) = cos x, k ∈ Z |
| Нули функции | Значение косинуса равно нулю | x = π/2 + πk, k ∈ Z |
| Наибольшее и наименьшее значения | Максимум 1, минимум −1 | cos(2πk) = 1; cos(π + 2πk) = −1 |
| Промежутки возрастания | Функция возрастает | [−π + 2πk; 2πk], k ∈ Z |
| Промежутки убывания | Функция убывает | [2πk; π + 2πk], k ∈ Z |
| Точки максимума и минимума | Максимум и минимум достигаются периодически | Максимум: x = 2πk; минимум: x = π + 2πk |
| Точки пересечения с координатными осями | С осью Ox — нули; с Oy — значение при x = 0 | (π/2 + πk; 0), k ∈ Z; (0; 1) |
Задача 1. Определить область определения и множество значений функции y = cos x. Сначала выясним, какие значения может принимать аргумент, а затем — какие координаты соответствуют косинусу на окружности. Такое разделение не позволяет перепутать допустимые x и получающиеся y.
Ответ: область определения — R, множество значений — [−1; 1].
Задача 2. Решить уравнение cos x = 1/2 на отрезке [0; 2π]. Правая часть задаёт абсциссу точки окружности, поэтому ищем углы, для которых горизонтальная координата равна 1/2. На окружности таких точек две: они расположены выше и ниже оси Ox.
Ответ: x = π/3 или x = 5π/3.
Задача 3. Построить график y = cos x и определить, где cos x ≥ 0. Для ответа достаточно найти участки, на которых косинусоида лежит выше оси Ox или касается её. Сначала отмечаем один период, а затем учитываем повторение кривой через 2π.
Ответ: cos x ≥ 0 при x ∈ [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], k ∈ Z.
Область определения иногда записывают как [−1; 1], потому что этот отрезок знаком по значениям косинуса. Здесь перепутаны аргументы и результаты функции: x может быть любым, а ограничены значения y. Проверка простая: подставь, например, x = 2π — косинус определён, хотя число не входит в [−1; 1].
Периодом могут назвать π, поскольку cos(x + π) = −cos x. Это равенство меняет знак значения, поэтому не выполняет определение периода; путаница возникает из-за того, что график повторяет форму через половину оборота, но с противоположными значениями. Проверь равенство при x = 0: cos π = −1, а cos 0 = 1.
График косинуса путают с графиком синуса и начинают его с точки (0; 0). Причина — у функций одинаковая форма волны, но разные значения при x = 0. Для самопроверки вычисли cos 0 = 1: график обязан проходить через (0; 1).
Промежутки знакопостоянства и монотонности неверно переносят за границы одного периода или включают неподходящие границы. Ошибка возникает, если забыть, что на соседнем участке график может уже возрастать вместо убывания, а свойства повторяются только с переносом на 2πk. Отметь нули и экстремумы, проверь направление кривой внутри одного периода и затем переноси именно эти ориентиры.
Для изучения косинуса пригодятся знания об единичной окружности и радианной мере: они объясняют, как углу соответствуют координаты точки. Нужно также помнить определения синуса и косинуса и уметь определять чётность функции. Тогда свойства графика можно выводить из геометрии, а не заучивать отдельно.
Косинус и его график используются при решении тригонометрических уравнений и неравенств, а также при преобразованиях графиков. Позже свойства этой функции понадобятся при изучении производной и первообразной косинуса. Поэтому умение читать косинусоиду связывает геометрию окружности с дальнейшим анализом функций.
Почему область определения косинуса — все действительные числа?
На единичной окружности можно выполнить поворот на любой угол: положительный, отрицательный или сколь угодно большой. Поэтому косинус определён при каждом действительном x.
Почему период косинуса равен 2π, а не π?
После поворота на 2π точка окружности возвращается в исходное положение, поэтому значение косинуса повторяется. При прибавлении π точка переходит в противоположную, и cos(x + π) = −cos x, а не cos x.
Чем график косинуса отличается от графика синуса?
График косинуса при x = 0 проходит через точку (0; 1), а график синуса — через (0; 0). Косинус чётный, поэтому его график симметричен относительно оси Oy.
Как быстро определить промежутки, где косинус положителен или отрицателен?
За один период косинус положителен между −π/2 и π/2, а отрицателен между π/2 и 3π/2. Затем эти промежутки повторяются с периодом 2π; на границах cos x = 0.
Как по графику y = cos x найти решения простейшего тригонометрического уравнения?
На графике проведи горизонтальную прямую y = a, где a — правая часть уравнения cos x = a. Абсциссы точек пересечения с косинусоидой и будут решениями; затем проверь, какие из них входят в заданный промежуток.
§ 11. Функция у = cos х, ее свойства и график
