"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Функция y = sin x каждому действительному числу ставит в соответствие синус этого числа. Её график — волнообразная синусоида, которая повторяется через 2π и принимает значения только от −1 до 1. Зная ключевые точки, период и симметрию, можно построить график на любом промежутке и определить нули, максимумы, минимумы, а также участки возрастания и убывания. Эти свойства пригодятся при решении тригонометрических уравнений и неравенств.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = sin x сопоставляет каждому действительному числу x значение синуса этого числа. В записи x — аргумент, а y — значение функции. Синус можно понимать как ординату точки на единичной окружности, соответствующей углу x. Такое определение помогает находить значения функции и связывает график с движением по окружности.
График функции y = sin x называют синусоидой. Это плавная волнообразная кривая: она пересекает ось x, поднимается к вершине, опускается к нижней точке и повторяет этот рисунок. Форма графика показывает, как меняется синус при изменении аргумента. По ней удобно находить нули, максимумы и промежутки возрастания или убывания.
Период функции — это число T, при прибавлении которого к аргументу значения функции не меняются: f(x + T) = f(x) для всех x. У синуса наименьший положительный период равен 2π. Именно поэтому достаточно построить график на одном промежутке длины 2π, а затем повторить его. Период позволяет не вычислять значения заново для каждого большого угла.
Нули функции y = sin x — это значения аргумента, при которых её значение равно нулю. Синус обращается в ноль при x = πk, где k — любое целое число. Например, нули включают 0, π, −π и 2π. Общая формула нужна, чтобы перечислить все нули, а не только те, которые попали на один выбранный отрезок.
Построение начинают с единичной окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Для каждого угла x синус равен ординате соответствующей точки окружности. Ордината точки на окружности не может быть больше 1 или меньше −1, поэтому график располагается в полосе между y = −1 и y = 1. Отсюда сразу виден диапазон возможных значений функции.
На промежутке [0; 2π] отмечают пять опорных точек. При x = 0, π и 2π синус равен нулю; при x = π/2 он равен 1, а при x = 3π/2 равен −1. Эти значения следуют из положений точек на единичной окружности: на верхней и нижней частях окружности ординаты равны соответственно 1 и −1. Через отмеченные точки проводят плавную кривую, не заменяя её отрезками.
После полного оборота по единичной окружности угол возвращает нас к исходной точке. Поэтому sin(x + 2π) = sin x: значения функции повторяются, а построенная волна продолжается без изменения формы. Если прибавить к аргументу только π, точка окажется напротив исходной, и ордината сменит знак: sin(x + π) = −sin x. Значит, π не является периодом синуса.
При замене x на −x точка на окружности отражается относительно горизонтальной оси, поэтому её ордината меняет знак. Получаем sin(−x) = −sin x, то есть функция нечётная. Для нечётной функции противоположным аргументам соответствуют противоположные значения, а график симметричен относительно начала координат. Это свойство позволяет строить левую часть графика по правой.
Монотонность зависит от того, как меняется ордината точки при движении по окружности. На отрезке [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk] ордината поднимается от −1 до 1, поэтому синус возрастает. На [π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk] ордината опускается от 1 до −1, поэтому функция убывает. Здесь k — целое число, а прибавление 2π переносит эти участки на следующие периоды.
| Свойство | Описание |
|---|---|
| Область определения | Все действительные числа: x ∈ R. |
| Множество значений | От −1 до 1 включительно: [−1; 1]. |
| Период | Наименьший положительный период — 2π. |
| Чётность | Функция нечётная: sin(−x) = −sin x. |
| Нули | x = πk, k ∈ Z. |
| Наибольшее и наименьшее значения | Наибольшее значение 1, наименьшее −1. |
| Промежутки возрастания | [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], k ∈ Z. |
| Промежутки убывания | [π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk], k ∈ Z. |
Таблица помогает быстро проверить, какие значения может принимать синус, где он обращается в ноль и как ведёт себя график. Если задача ограничивает x отрезком, подставьте целые k в общие формулы и оставьте только подходящие точки. Для наброска графика используйте период, опорные точки и указанные интервалы монотонности.
Задача 1. Вычислите sin(π/6), sin(π/2) и sin(π). Здесь не нужно строить график целиком: достаточно найти ординаты точек единичной окружности для заданных углов. Рассмотрим каждый угол отдельно. Значения удобно сверить с ключевыми точками окружности.
Ответ: 1/2, 1, 0. При вычислении синуса важно использовать именно ординату, а не абсциссу точки. Поэтому для угла π/2 значение равно 1.
Задача 2. Найдите все нули функции y = sin x на отрезке [−2π; 2π]. Общая формула нулей уже известна: x = πk, где k — целое число. Осталось выяснить, какие значения k дают точки внутри заданных границ. Для этого разделим двойное неравенство на положительное число π.
Ответ: −2π, −π, 0, π, 2π. Границы отрезка включены, поэтому −2π и 2π тоже являются решениями. Проверка проста: каждое найденное значение имеет вид πk.
Задача 3. Постройте график y = sin x на отрезке [−2π; 2π] и укажите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума. Отрезок содержит два периода, поэтому сначала используем пять опорных точек одного периода. Затем с помощью периодичности и нечётности восстановим левую часть и проверим границы. Экстремумы — это точки, где функция достигает наибольшего или наименьшего значения.
Ответ: график проходит через перечисленные нули и экстремумы; интервалы возрастания и убывания указаны в решении. На концах отрезка функция равна нулю. При построении важно сохранять плавную форму и расстояние 2π между одинаковыми участками волны.
Ошибка: считать периодом число π. Так путают синус с функциями, которые действительно повторяются через π. Но sin(x + π) = −sin x, а значит, значения обычно не совпадают. Проверка на x = π/2 даёт sin(3π/2) = −1 вместо sin(π/2) = 1.
Ошибка: указывать область значений как все действительные числа. Такое предположение возникает, если забыть геометрический смысл синуса. Значение синуса — ордината точки единичной окружности, поэтому оно ограничено числами −1 и 1. Проверьте себя по графику: он не выходит за горизонтальные прямые y = −1 и y = 1.
Ошибка: записывать нули только как 0 и π. Эти значения можно увидеть на промежутке [0; 2π], но нули продолжаются в обе стороны. Их общий вид — x = πk при любом целом k. Чтобы не пропустить решения, сначала записывайте формулу, а затем выбирайте значения в нужных границах.
Ошибка: менять местами координаты максимума и минимума. При синусе максимум достигается при x = π/2 + 2πk, а минимум — при x = 3π/2 + 2πk. Путаница появляется из-за смешения значений функции и аргументов. Проверка по окружности: в верхней точке ордината равна 1, в нижней — −1.
Для изучения синуса нужны определение синуса угла, его значения на единичной окружности и радианная мера угла. Без радиан трудно правильно читать выражения с π и отмечать ключевые точки графика. Свойства и график синуса затем используют при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Они также помогают изучать преобразования графиков и производные тригонометрических функций.
Почему период функции y = sin x равен 2π?
На единичной окружности углы x и x + 2π задают одну и ту же точку. Поэтому sin(x + 2π) = sin x для любого x, а график повторяется через 2π. Меньшего положительного периода у синуса нет.
Почему синус принимает значения только от −1 до 1?
Синус угла равен ординате точки на единичной окружности. Ордината такой точки не может быть меньше −1 или больше 1. Значения −1 и 1 достигаются, поэтому границы входят в множество значений.
Как найти все нули функции y = sin x?
Приравняйте синус к нулю: sin x = 0. На окружности это происходит при углах, соответствующих точкам пересечения с горизонтальной осью, поэтому x = πk, где k ∈ Z. Для заданного промежутка выберите целые k, при которых πk попадает в этот промежуток.
В каких точках синус достигает максимума и минимума?
Максимум 1 функция достигает при x = π/2 + 2πk. Минимум −1 достигается при x = 3π/2 + 2πk, где k ∈ Z. Прибавление 2π перечисляет соответствующие точки на всех периодах.
Как по графику определить, где функция возрастает и убывает?
Если при движении слева направо график поднимается, функция возрастает; если опускается — убывает. Синус возрастает на [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk] и убывает на [π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk], где k ∈ Z. Эти отрезки повторяются вместе с графиком.
§ 10. Функция у = sin ху ее свойства и график
