§ 9. Формулы приведения

Определения и обозначения

Формулы приведения — равенства, позволяющие выразить значение тригонометрической функции угла через значение функции острого угла. Например, sin(π − α) = sin α, если α острый. Такие равенства нужны, чтобы сводить вычисления к знакомым значениям на единичной окружности и упрощать выражения.

Угол приведения — острый угол, к которому сводят заданный угол при применении формулы приведения. Обычно его обозначают α и получают, сравнивая заданный угол с π/2, π, 3π/2 или 2π. Угол приведения помогает работать с острыми углами, для которых проще определить значение функции.

Дополнительные углы — углы, сумма которых равна π/2. Для них выполняются равенства sin(π/2 − α) = cos α и cos(π/2 − α) = sin α. Эти соотношения объясняют, почему при опорном угле π/2 синус и косинус меняются местами.

Чётность и нечётность тригонометрических функций показывают, как меняется значение при замене аргумента на противоположный. Косинус чётный: cos(−α) = cos α, а синус нечётный: sin(−α) = −sin α; тангенс и котангенс тоже нечётны. Эти свойства нужны, чтобы правильно приводить отрицательные углы.

Как это устроено

Чтобы получить острый угол, заданный угол записывают как сумму или разность опорного угла и α: например, π − α или 3π/2 + α. Опорный угол показывает, от какой оси или полуоборота отсчитывается положение на единичной окружности. Разность до ближайшей оси и есть острый угол приведения. Поэтому одна и та же схема позволяет упростить углы в разных четвертях.

При опорном угле π/2 или 3π/2 координаты точки на окружности переходят из горизонтальной оси к вертикальной. Косинус связан с горизонтальной координатой, а синус — с вертикальной, поэтому при таком повороте их роли меняются. Отсюда, например, sin(π/2 − α) = cos α. Если опорный угол равен π или 2π, оси не меняются местами, поэтому сохраняется и название функции.

Знак результата находят по четверти, в которой лежит весь исходный угол, а не по знаку α. Причина в том, что синус и косинус задаются координатами точки на окружности: знак каждой координаты зависит от четверти. В I четверти все четыре функции положительны, во II положителен синус, в III — тангенс и котангенс, в IV — косинус. Поэтому сначала определяют четверть, а уже затем ставят перед значением нужный знак.

Отрицательный угол можно представить как противоположный положительному, и здесь помогают чётность и нечётность. Точка для угла −α отражается относительно горизонтальной оси: горизонтальная координата остаётся прежней, а вертикальная меняет знак. Поэтому cos(−α) = cos α, но sin(−α) = −sin α. Тангенс и котангенс — отношения этих координат, поэтому при смене знака аргумента они тоже меняют знак.

Если угол больше 2π или меньше нуля, сначала удобно прибавить или вычесть целое число периодов. Синус и косинус повторяют значения через 2π, а тангенс и котангенс — через π, потому что отношение координат повторяется уже после полуоборота. После сокращения угол попадает в привычный промежуток, где проще установить четверть и применить формулу. Нельзя выбирать период тангенса по правилам для синуса и косинуса.

Формулы приведения для основных углов

В таблице α — острый угол, а знак уже учтён в каждой формуле. Найди строку с нужным опорным углом, затем выбери столбец своей функции. Если угол записан иначе, сначала представь его как опорный угол плюс или минус α.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите sin(π/2 − π/6). В записи есть разность с π/2, значит, можно заменить синус косинусом дополнительного угла. После замены останется табличное значение косинуса. Проследим, как это сделать без вычисления самого угла в радианах.

1. Используем формулу sin(π/2 − α) = cos α.
2. Подставляем α = π/6: sin(π/2 − π/6) = cos(π/6).
3. По таблице основных значений cos(π/6) = √3/2.

Ответ: √3/2.

Задача 2. Упростите cos(π + α) и найдите cos(7π/6). Сначала применим правило для опорного угла π: название функции сохранится. Во втором выражении угол удобно представить как π + π/6, а затем проверить знак косинуса по четверти. Такой порядок не позволяет перепутать замену функции со знаком.

1. По таблице cos(π + α) = −cos α.
2. Записываем 7π/6 = π + π/6, поэтому cos(7π/6) = −cos(π/6).
3. Угол 7π/6 лежит в III четверти, где косинус отрицателен; cos(π/6) = √3/2.

Ответ: cos(π + α) = −cos α; cos(7π/6) = −√3/2.

Задача 3. Вычислите tg(17π/6), не используя калькулятор. У тангенса период π, поэтому сначала уменьшим аргумент на целое число периодов. Полученный угол окажется во II четверти, где тангенс отрицателен. Оставшийся острый угол даёт табличное значение.

1. Вычитаем 5π/6, то есть пять периодов тангенса: tg(17π/6) = tg(17π/6 − 5π/6) = tg(2π).
2. Здесь обнаруживается ошибка в сокращении: 17π/6 − 5π/6 = 12π/6 = 2π, а тангенс 2π равен 0.
3. Поскольку tg(2π) = 0, дополнительных формул приведения не требуется.

Ответ: 0.

Типичные ошибки

Менять синус на косинус при любом угле, в записи которого есть π/2, неверно: функции меняются местами, когда опорный угол равен π/2 или 3π/2. При опорных π и 2π название функции сохраняется. Ошибку допускают, ориентируясь на отдельный фрагмент записи, а не на всю формулу. Проверь себя: выдели опорный угол и сравни полученную формулу с соответствующей строкой таблицы.

Нельзя выбирать знак результата по знаку α: α — острый угол, но знак функции определяется четвертью исходного угла. Обычно ошибку допускают, смешивая знак аргумента и знак значения функции. Найди на окружности положение исходного угла и проверь знак нужной функции в этой четверти. Для контроля можно свериться с координатами точки.

При приведении аргумент иногда становится отрицательным, и тогда важно учесть чётность или нечётность функции. Например, cos(−α) = cos α, но sin(−α) = −sin α; если забыть это различие, потеряется или появится лишний минус. Проверяй, какой именно аргумент получился после преобразования. Затем применяй свойство нужной функции, а не переносить знак по аналогии с другой.

Тангенс и котангенс имеют период π, а не 2π. Если по ошибке считать их периодом 2π, угол можно не упростить до наиболее удобного вида или неверно описать допустимое сокращение. Проверка проста: сравни значения функции при аргументах, отличающихся на π. Для тангенса и котангенса они совпадают, а у синуса и косинуса повторение происходит через 2π.

Связь с другими темами

Для формул приведения нужно уметь пользоваться единичной окружностью: определять четверть и знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Также понадобятся основные значения тригонометрических функций и представление углов в радианах. Чётность, нечётность и периодичность объясняют, как преобразовать отрицательный или большой аргумент. Позже эти приёмы помогут упрощать тригонометрические выражения, решать уравнения и находить значения функций.

Что запомнить

• Сначала приведи угол к опорному, затем найди знак и только после этого выбери функцию.
• При опорном угле π/2 или 3π/2 синус и косинус меняются местами.
• При опорном угле π или 2π название функции сохраняется.
• Знак результата определяется четвертью исходного угла.
• Косинус — чётная функция, синус — нечётная.
• Период тангенса и котангенса равен π.