§ 8. Тригонометрические функции углового аргумента

Определения и обозначения

Синус угла α — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом начального радиуса на угол α. Ординатой называют вторую координату точки, то есть её положение по вертикали. Поэтому синус помогает определить вертикальную составляющую направления, заданного углом.

Косинус угла α — абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Абсцисса — первая координата, показывающая положение точки по горизонтали. Вместе синус и косинус задают обе координаты точки и позволяют описывать направление угла числами.

Тангенс угла α — отношение синуса угла к его косинусу: tg α = sin α / cos α. Он определён только тогда, когда cos α ≠ 0. Это отношение удобно использовать, когда нужно выразить наклон направления через его вертикальную и горизонтальную составляющие.

Котангенс угла α — отношение косинуса угла к его синусу: ctg α = cos α / sin α. Он существует при sin α ≠ 0. Котангенс также описывает соотношение координат, но в обратном порядке по сравнению с тангенсом.

Как это устроено

Представим начальный радиус, направленный вправо, и повернём его на угол α вокруг центра окружности. Конец радиуса окажется в некоторой точке, а сам радиус задаст направление угла. Если окружность единичная, её радиус равен 1, поэтому координаты точки непосредственно связаны с тригонометрическими функциями: (cos α; sin α). Горизонтальное положение задаёт абсцисса и потому соответствует косинусу, вертикальное — ордината и потому соответствует синусу.

Единичную окружность выбирают, чтобы длина радиуса не влияла на значения функций. На окружности радиуса r координаты точки, соответствующей тому же направлению, равны r cos α и r sin α. При переходе к единичной окружности обе координаты делятся на r, и остаются cos α и sin α. Иначе говоря, подобные треугольники сохраняют отношения сторон при изменении масштаба, поэтому значения зависят от угла, а не от размера окружности.

Знаки синуса и косинуса определяются знаками координат точки. В I четверти обе координаты положительны; во II абсцисса отрицательна, а ордината положительна; в III обе отрицательны; в IV абсцисса положительна, а ордината отрицательна. Тангенс и котангенс — отношения этих координат, поэтому они положительны, когда координаты одного знака, и отрицательны, когда знаки разные. Так знаки всех четырёх функций можно определить по четверти.

Деление возможно только на ненулевое число. В формуле tg α = sin α / cos α знаменатель обращается в ноль при cos α = 0, поэтому тангенс для таких углов не определён. Для котангенса знаменатель — sin α, так что ctg α не существует при sin α = 0. Условия относятся к знаменателям соответствующих дробей, а не к числителям.

Поворот на полный оборот, то есть на 2π радиан, приводит радиус в прежнее положение. Конец радиуса возвращается в ту же точку, а её абсцисса и ордината не меняются. Значит, синус и косинус повторяют значения через полный оборот; отношения этих координат тоже повторяются там, где знаменатель не равен нулю. Этот повтор объясняет периодичность тригонометрических функций.

Тригонометрические функции угла α

Сначала найдите четверть и по ней определите знаки синуса и косинуса, затем используйте отношения для тангенса и котангенса. Строка об условиях существования помогает проверить, можно ли вычислять последние две функции для заданного угла. На границах четвертей применяйте именно эти условия, поскольку там одна из координат равна нулю.

Разбор задач

Знаки функций во II четверти

Условие: определите знаки sin α, cos α, tg α и ctg α, если угол α лежит во II четверти. В этой четверти точка окружности находится слева от вертикальной оси и выше горизонтальной. Поэтому её абсцисса отрицательна, а ордината положительна. Сначала установим знаки координат, затем проверим отношения.

1. Во II четверти cos α — абсцисса точки, значит, cos α < 0.
2. sin α — ордината, поэтому sin α > 0.
3. tg α = sin α / cos α: отношение положительного числа к отрицательному отрицательно.
4. ctg α = cos α / sin α: отношение отрицательного числа к положительному тоже отрицательно.

Ответ: sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0, ctg α < 0. Обе функции-отношения имеют одинаковый знак, потому что при перестановке числителя и знаменателя знак дроби не меняется. Угол внутри II четверти не попадает на ось, поэтому оба отношения определены.

Значения функций по координатам точки

Условие: точка единичной окружности, соответствующая углу α, имеет координаты (−3/5; 4/5). Найдите sin α, cos α, tg α и ctg α. Координаты уже даны в порядке «абсцисса; ордината». Остаётся правильно сопоставить их с функциями и вычислить отношения.

1. Косинус равен абсциссе, поэтому cos α = −3/5.
2. Синус равен ординате, поэтому sin α = 4/5.
3. tg α = sin α / cos α = (4/5) / (−3/5) = −4/3.
4. ctg α = cos α / sin α = (−3/5) / (4/5) = −3/4.

Ответ: sin α = 4/5, cos α = −3/5, tg α = −4/3, ctg α = −3/4. При делении дробей общий знаменатель 5 сокращается. Отрицательные значения тангенса и котангенса согласуются с тем, что координаты имеют разные знаки.

По синусу и четверти

Условие: sin α = −5/13, а угол α лежит в III четверти; найдите cos α, tg α и ctg α. Одного значения синуса достаточно, чтобы найти модуль косинуса по равенству sin² α + cos² α = 1. Но знак косинуса нужно выбрать по четверти, а не по одному только корню.

1. Подставим синус: cos² α = 1 − sin² α = 1 − 25/169 = 144/169.
2. Следовательно, cos α = ±12/13. В III четверти абсцисса отрицательна, поэтому cos α = −12/13.
3. Вычислим tg α = (−5/13) / (−12/13) = 5/12.
4. Вычислим ctg α = (−12/13) / (−5/13) = 12/5.

Ответ: cos α = −12/13, tg α = 5/12, ctg α = 12/5. Знак косинуса определяется положением точки в III четверти. Оба отношения положительны, потому что синус и косинус отрицательны.

Типичные ошибки

Путают координаты точки и называют синус абсциссой, а косинус ординатой. Ошибка возникает из-за того, что названия функций легко переставить местами, если не опираться на определение. Проверка: записывайте координаты в порядке (cos α; sin α) и вспоминайте, что абсцисса первая, ордината вторая.

Считают, что тангенс определён для любого угла, хотя tg α = sin α / cos α. Это происходит, когда помнят формулу, но не проверяют знаменатель. Перед вычислением убедитесь, что cos α ≠ 0; если он равен нулю, дробь не имеет значения.

Полагают, что котангенс не определён при cos α = 0. Это условие ошибочно переносят с тангенса, не замечая, что у котангенса знаменатель другой. Проверяйте формулу ctg α = cos α / sin α: котангенс существует при sin α ≠ 0.

Определяют знак функции только по величине угла, не учитывая четверть точки. Так можно ошибиться, если угол больше полного оборота или записан в радианах. Сначала приведите угол к положению на окружности и найдите четверть, затем установите знаки координат и вычислите знаки отношений.

Связь с другими темами

Для работы с угловым аргументом нужно уметь читать координаты точек и различать четверти координатной плоскости. Единичная окружность задаёт геометрическую модель, а радианная мера позволяет выражать угол числом и связывать его с длиной дуги. Эти знания помогают определить положение точки даже тогда, когда угол не задан в градусах.

Определения через окружность служат основой для тригонометрических функций числового аргумента: число можно рассматривать как величину угла. На этой основе изучают графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса, их свойства и тождества. Координатное понимание функций помогает объяснить формулы, а не только запоминать их.

Что запомнить

• cos α — абсцисса точки единичной окружности, sin α — её ордината.
• tg α = sin α / cos α при cos α ≠ 0.
• ctg α = cos α / sin α при sin α ≠ 0.
• Знаки sin α и cos α определяются знаками координат точки в соответствующей четверти.
• Знаки tg α и ctg α совпадают, поскольку обе функции являются отношениями sin α и cos α.
• Поворот на полный оборот возвращает точку на единичной окружности в исходное положение.