"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Тригонометрические функции связывают число с точкой единичной окружности и её координатами. Синусом называют ординату этой точки, косинусом — абсциссу; тангенс и котангенс получают как отношения этих координат. Такое определение позволяет работать с аргументами в радианах, находить значения функций и исследовать их свойства. Периодичность и симметрия окружности объясняют, как повторяются значения и какие знаки они имеют.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус числового аргумента — координата точки единичной окружности, соответствующая заданному числу: sin x равен ординате этой точки. Иными словами, синус показывает, насколько высоко или низко расположена точка. Это определение помогает находить значение функции по окружности и понимать его знак.
Косинус числового аргумента — абсцисса соответствующей точки единичной окружности: cos x равен её горизонтальной координате. Косинус показывает, насколько далеко точка находится вправо или влево от вертикальной оси. Благодаря этому определению значение косинуса можно читать непосредственно по координатам.
Тангенс числового аргумента — отношение синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x. Он определён только тогда, когда cos x ≠ 0, поскольку знаменатель дроби не может быть нулём. Такое отношение связывает вертикальную и горизонтальную координаты точки и позволяет вычислять тангенс через уже известные синус и косинус.
Котангенс числового аргумента — отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x. Он определён при sin x ≠ 0, так как деление на ноль невозможно. Это обратное по расположению числителя и знаменателя отношение удобно находить по тем же координатам окружности.
Сначала на единичной окружности выбирают начальную точку (1; 0). Число x откладывают от неё как длину дуги: положительные числа — против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке. Длина окружности радиуса 1 равна 2π, поэтому числа, отличающиеся на 2π, приводят в одну точку. Радианная мера здесь естественна: число непосредственно задаёт длину дуги, а не градусную запись угла.
Когда точка найдена, её вертикальная координата становится sin x, а горизонтальная — cos x. Радиус окружности равен 1, поэтому обе координаты не могут быть больше 1 или меньше −1: каждая является проекцией точки на ось. Отсюда следуют ограничения −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1. В разных частях окружности координаты меняют знаки, но их абсолютные значения остаются не больше единицы.
Определения tg x и ctg x — это дроби, составленные из координат точки. В знаменателе тангенса стоит cos x, который равен нулю в точках с абсциссой 0: x = π/2 + πk, где k ∈ Z. В знаменателе котангенса стоит sin x, который равен нулю при x = πk. Именно запрет делить на ноль задаёт области определения этих функций; вне указанных точек отношения вычисляются.
Прибавление 2π означает полный обход окружности, поэтому точка возвращается в исходное положение и синус с косинусом повторяют значения. При прибавлении π точка переходит в диаметрально противоположную, а обе координаты меняют знак. В отношениях sin x / cos x и cos x / sin x эти два изменения знака сокращаются. Поэтому тангенс и котангенс повторяются уже через π, хотя сама точка окружности за это время не возвращается в прежнее положение.
Симметрия окружности относительно горизонтальной оси переводит точку для x в точку для −x: абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак. Поэтому cos(−x) = cos x, а sin(−x) = −sin x. Из отношений этих функций следуют tg(−x) = −tg x и ctg(−x) = −ctg x там, где они определены. Так получают чётность косинуса и нечётность синуса, тангенса и котангенса.
| Свойство | y = sin x | y = cos x | y = tg x | y = ctg x |
|---|---|---|---|---|
| Область определения | R | R | x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z | x ≠ πk, k ∈ Z |
| Множество значений | [−1; 1] | [−1; 1] | R | R |
| Наименьший положительный период | 2π | 2π | π | π |
| Чётность или нечётность | Нечётная | Чётная | Нечётная | Нечётная |
| Нули функции | x = πk, k ∈ Z | x = π/2 + πk, k ∈ Z | x = πk, k ∈ Z | x = π/2 + πk, k ∈ Z |
| Точки, в которых функция не определена | Нет | Нет | x = π/2 + πk, k ∈ Z | x = πk, k ∈ Z |
Таблица помогает быстро проверить, существует ли значение функции, и найти её период, нули или множество значений. При использовании формул с k учитывайте, что k — любое целое число. Для тангенса и котангенса сначала проверьте аргумент на попадание в точки, где знаменатель равен нулю.
По единичной окружности найдите sin x и cos x, если x = π/2. Нужно определить точку, которой соответствует аргумент, и прочитать её координаты. Начальная точка — (1; 0), а π/2 составляет четверть полного оборота. Поэтому после такого движения точка оказывается наверху окружности.
Ответ: sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0.
Найдите tg x и ctg x при x = 5π/6 и укажите, определены ли обе функции. Сначала определим координаты точки, затем составим отношения. Аргумент 5π/6 лежит во второй четверти: синус там положителен, косинус отрицателен. Это позволяет заранее проверить знак ответов.
Ответ: tg(5π/6) = −√3/3, ctg(5π/6) = −√3; обе функции определены.
Найдите все значения x на отрезке [0; 2π], для которых cos x = −1/2, и запишите общее решение. Косинус — абсцисса точки, поэтому ищем на окружности точки с горизонтальной координатой −1/2. Они расположены слева, симметрично относительно горизонтальной оси. Сначала найдём значения на указанном отрезке, затем учтём повторение косинуса через 2π.
Ответ: на [0; 2π] — x = 2π/3, 4π/3; общее решение: x = 2π/3 + 2πk или x = 4π/3 + 2πk, k ∈ Z.
Ошибка: считать, что аргумент обязательно измеряется в градусах. Так можно подумать из-за привычной записи углов, но на единичной окружности число откладывают в радианной мере. Проверяйте соответствия: π — полуокружность, 2π — полный оборот, π/2 — четверть оборота.
Ошибка: считать тангенс определённым при любом x. Обычно забывают, что тангенс — дробь и у неё может оказаться нулевой знаменатель. Перед вычислением проверьте cos x: при x = π/2 + πk тангенс не существует.
Ошибка: путать определения тангенса и котангенса. Названия похожи, поэтому числитель и знаменатель легко переставить. Запомните порядок: tg x = sin x / cos x, а ctg x = cos x / sin x; подстановка значений синуса и косинуса помогает проверить результат.
Ошибка: приписывать тангенсу и котангенсу период 2π. Этот период подходит для синуса и косинуса, но отношения координат повторяются уже при повороте на π: обе координаты меняют знак. Проверьте формулой tg(x + π) = tg x и аналогично для котангенса; наименьший положительный период этих функций равен π.
Для работы с числовым аргументом нужны радианная мера угла и умение отмечать числа на единичной окружности. Координаты точки и симметрии относительно осей и начала координат помогают находить значения и определять их знаки. Позже те же свойства пригодятся при построении графиков тригонометрических функций, решении тригонометрических уравнений и преобразовании выражений.
Почему синус и косинус числового аргумента связаны с единичной окружностью?
Единичная окружность задаёт точку для каждого числа: от начальной точки откладывают дугу длины x. Координаты полученной точки и определяют cos x и sin x, поэтому функции можно изучать с помощью геометрии.
Чем числовой аргумент отличается от угла, заданного в градусах?
Числовой аргумент — это число, которое откладывают на окружности как длину дуги в радианах, а не запись угла в градусах. Например, числу π соответствует угол 180°, поскольку длина полуокружности единичной окружности равна π.
Почему тангенс определён не при всех значениях аргумента?
Тангенс вычисляют как отношение sin x к cos x. Делить на ноль нельзя, поэтому tg x не определён при cos x = 0, то есть при x = π/2 + πk, где k ∈ Z.
Почему у тангенса период π, а у синуса — 2π?
После поворота на π точка окружности переходит в противоположную, поэтому синус и косинус меняют знаки. Их отношение при этом не меняется, и потому тангенс повторяет значения через π; синус возвращается к прежнему значению через 2π.
Как по единичной окружности определить знак синуса и косинуса?
Знак синуса совпадает со знаком ординаты точки, а знак косинуса — со знаком её абсциссы. Поэтому в верхней половине окружности sin x положителен, в правой cos x положителен; в остальных частях знаки определяются расположением точки относительно осей.
§ 7. Тригонометрические функции числового аргумента
