"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Тригонометрические функции связывают действительное число с координатами точки на единичной окружности. Синус и косинус показывают её вертикальную и горизонтальную координаты, а тангенс и котангенс — отношения этих координат. По окружности удобно находить значения функций и их знаки; по свойствам функций — определять допустимые аргументы, периоды и решать уравнения и неравенства. Главное — следить за четвертью окружности и точками, где знаменатель обращается в ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус числового аргумента — координата точки единичной окружности, соответствующая числу x; обозначение — sin x. Иными словами, синус показывает вертикальное положение точки после поворота на x радиан. По нему можно узнать, насколько точка выше или ниже горизонтальной оси.
Косинус числового аргумента — абсцисса точки единичной окружности, соответствующая числу x; обозначение — cos x. Абсцисса — это горизонтальная координата точки. Вместе с синусом косинус полностью задаёт её положение на окружности.
Тангенс числового аргумента — отношение синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x. Функция определена только при cos x ≠ 0, иначе делить нельзя. Тангенс помогает сравнить вертикальную и горизонтальную координаты точки.
Котангенс числового аргумента — отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x. Он определён только при sin x ≠ 0. Котангенс выражает обратное отношение координат и связан с тангенсом равенством ctg x = 1 / tg x там, где обе функции определены.
Число x рассматривают как величину поворота в радианах: от начальной точки (1; 0) откладывают угол x на единичной окружности. Для положительного x поворачиваются против часовой стрелки, для отрицательного — по часовой. Повторение полного оборота не меняет конечную точку, поэтому координаты этой точки и задают значения sin x и cos x.
Окружность содержит точку для любого поворота, каким бы большим или отрицательным ни было число x. Значит, у синуса и косинуса нет запрещённых аргументов. Тангенс и котангенс являются дробями: у первой знаменатель cos x, у второй — sin x. Если знаменатель равен нулю, дробь не существует, поэтому аргументы π/2 + πk исключают для тангенса, а πk — для котангенса, где k ∈ Z.
Координаты любой точки единичной окружности лежат между −1 и 1, поскольку точка не может быть дальше единицы от центра. Поэтому −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1. У отношений sin x / cos x и cos x / sin x такого ограничения нет: знаменатель может быть сколь угодно близок к нулю, и тогда отношение становится сколь угодно большим по модулю. Так тангенс и котангенс принимают любые действительные значения.
После поворота на 2π точка возвращается к исходному положению, а значит, sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. Меньшего положительного периода у них нет: за неполный оборот координаты не повторяются для всех x. При добавлении π обе координаты меняют знак, но их отношение остаётся прежним, поэтому периоды тангенса и котангенса равны π.
Знаки функций можно определить по четверти, в которой находится точка: косинус имеет знак абсциссы, синус — ординаты. В I четверти оба положительны; во II положителен синус, в III оба отрицательны, в IV положителен косинус. Тангенс и котангенс — отношения этих координат: они положительны в I и III четвертях, отрицательны во II и IV. На осях знак или существование функции проверяют отдельно.
| Свойство | y = sin x | y = cos x | y = tg x | y = ctg x |
|---|---|---|---|---|
| Область определения | R | R | x ≠ π/2 + πk | x ≠ πk, k ∈ Z |
| Множество значений | [−1; 1] | [−1; 1] | R | R |
| Чётность | Нечётная | Чётная | Нечётная | Нечётная |
| Наименьший положительный период | 2π | 2π | π | π |
| Нули функции | x = πk | x = π/2 + πk | x = πk | x = π/2 + πk |
| Промежутки знакопостоянства | Положительна в I и II, отрицательна в III и IV четвертях | Положительна в I и IV, отрицательна во II и III четвертях | Положительна в I и III, отрицательна во II и IV четвертях | Положительна в I и III, отрицательна во II и IV четвертях |
| Точки разрыва и вертикальные асимптоты | Нет | Нет | x = π/2 + πk | x = πk |
| Связь с другими функциями | sin x = cos(π/2 − x) | cos x = sin(π/2 − x) | tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
В таблице k — любое целое число, а R обозначает множество действительных чисел. Чтобы найти допустимые x или нули, подставьте нужную строку и учтите значения k; для знака сначала определите четверть. Вертикальные асимптоты — это прямые x, около которых график неограниченно возрастает или убывает.
Задача 1. Найти sin(−π/6), cos(5π/3), tg(3π/4) и ctg(−π/4). Удобно свести аргументы к известным положениям точки на окружности. Для отрицательного аргумента используем нечётность синуса и котангенса, а для углов за пределами первого оборота — периодичность.
Ответ: −1/2; 1/2; −1; −1.
Задача 2. Определить область определения и множество значений функции y = 2tg(3x − π/4) − 1. Сначала найдём, при каких x существует тангенс, затем выясним, как умножение на 2 и сдвиг на 1 меняют множество значений. Важно исключить именно значения, при которых аргумент тангенса равен π/2 + πk.
Ответ: область определения — все x ∈ R, кроме x = π/4 + πk/3, k ∈ Z; множество значений — R.
Задача 3. Решить неравенство sin x · cos x ≤ 0 на отрезке [−2π; 2π]. Произведение равно нулю там, где нулём является хотя бы один множитель; между такими точками его знак не меняется. Поэтому сначала отметим все нули, а затем проверим знак на промежутках.
Ответ: [−3π/2; −π] ∪ [−π/2; 0] ∪ [π/2; π] ∪ [3π/2; 2π].
Ошибка: считать, что область определения тангенса — все действительные числа. Так думают, если забывают, что тангенс является дробью sin x / cos x. Проверка: найдите значения x, при которых cos x = 0, и исключите их; это x = π/2 + πk.
Ошибка: указывать для тангенса период 2π. Этот период тоже возвращает значение функции, но он не наименьший: при добавлении π одновременно меняются знаки числителя и знаменателя, и отношение сохраняется. Проверка: подставьте x + π в дробь — получите tg(x + π) = tg x.
Ошибка: путать синус и косинус в таблице основных углов. Она возникает, когда забывают, какая координата за что отвечает. Проверка: синус — вертикальная координата, косинус — горизонтальная; например, у точки при угле 0 координаты (1; 0), значит, cos 0 = 1, а sin 0 = 0.
Ошибка: записывать ctg x = sin x / cos x или считать, что котангенс существует при sin x = 0. Это формула тангенса, а в знаменателе котангенса стоит синус. Проверка: вспомните определения ctg x = cos x / sin x и условие sin x ≠ 0; при x = πk котангенс не определён.
Для этой темы нужны радианная мера угла, единичная окружность, координаты точки и основные значения тригонометрических функций. Они позволяют переводить аргумент в положение точки и находить значения функций. Далее свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса помогут строить графики, решать тригонометрические уравнения и неравенства. Эти знания также понадобятся при преобразовании графиков, изучении производных и исследовании функций.
Почему аргумент тригонометрической функции может быть любым действительным числом?
Любому действительному числу x соответствует поворот на x радиан от точки (1; 0) по единичной окружности. После поворота получаем точку, координаты которой задают sin x и cos x. Для тангенса и котангенса нужно дополнительно проверить, что знаменатель не равен нулю.
Почему у тангенса период π, а у синуса 2π?
При прибавлении π точка на окружности переходит в диаметрально противоположную, поэтому синус и косинус меняют знаки. Их отношения при этом не меняются: tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x. Для возвращения координат к прежним значениям нужен полный оборот 2π.
Чем отличаются область определения и множество значений функции?
Область определения — все допустимые значения аргумента x, для которых функция имеет смысл. Множество значений — все результаты y, которые функция может принять. Например, синус определён при любом x, но его значения не выходят за пределы отрезка [−1; 1].
Как быстро определить знак тригонометрической функции по четверти?
Посмотрите на знаки координат точки окружности: косинус — это абсцисса, синус — ордината. Тангенс и котангенс положительны, когда синус и косинус одного знака, и отрицательны, когда знаки разные. На осях некоторые функции равны нулю или не определены.
Почему тангенс и котангенс не существуют для некоторых значений аргумента?
Тангенс вычисляют как sin x / cos x, поэтому он не определён, если cos x = 0. Это происходит при x = π/2 + πk, где k ∈ Z. Для котангенса знаменатель — sin x, поэтому он не определён при x = πk.
§ 10. Тригонометрические функции числового аргумента
