10.1. Функция у = sin х

Определения и обозначения

Функция y = sin x сопоставляет каждому действительному числу x его синус; аргумент x здесь измеряется в радианах. Например, при x = π/6 значение функции равно 1/2. Такая запись связывает угол с числом и позволяет исследовать, как меняется синус при изменении аргумента. Она служит основой для построения графика и решения задач.

Периодом функции называют положительное число T, при сдвиге на которое значения повторяются: f(x + T) = f(x) для всех x. У синуса наименьший положительный период равен 2π. Период помогает предсказывать значения на всей числовой прямой по одному повторяющемуся участку графика. Другие периоды синуса тоже существуют, например 4π, но они не наименьшие.

График функции y = sin x называется синусоидой. Это плавная волнообразная линия: она проходит через ось x, поднимается до высоты 1, затем опускается до −1 и повторяет движение. Название помогает узнавать график среди других кривых. Его повторяющийся рисунок отражает периодичность синуса.

Нулями функции y = sin x называют такие значения аргумента, при которых синус равен нулю. Все они записываются формулой x = πk, где k — целое число. Например, при k = 0 получается x = 0, а при k = 1 — x = π. Общая формула нужна потому, что нулей бесконечно много.

Как это устроено

Чтобы получить sin x, отложим угол x от положительного направления горизонтальной оси на единичной окружности. Синус этого угла равен ординате, то есть второй координате полученной точки. Например, верхней точке окружности соответствует ордината 1, а нижней — −1. Поэтому синус зависит от положения точки по вертикали, а не от длины дуги.

Область определения — все действительные числа: на окружности можно отложить поворот на любой угол, в том числе отрицательный или больший полного оборота. Множество значений ограничено отрезком [−1; 1], поскольку ординаты точек единичной окружности не выходят за эти границы. Крайние значения достигаются в верхней и нижней точках. Значит, синус определён всегда, но принимать произвольные числа не может.

При увеличении угла на 2π точка на окружности совершает полный оборот и возвращается туда, откуда начала. Поэтому ордината не меняется: sin(x + 2π) = sin x. Число π не является периодом, потому что поворот на π переводит точку в противоположную, а её ордината меняет знак. Между 0 и 2π нет меньшего положительного сдвига, который возвращал бы все точки в исходное положение, поэтому 2π — наименьший период.

При замене x на −x поворот происходит в противоположную сторону, и точки окружности оказываются зеркально расположены относительно горизонтальной оси. Их ординаты противоположны, поэтому sin(−x) = −sin x. Это равенство называется нечётностью функции. На графике ей соответствует симметрия относительно начала координат: точке (x; y) соответствует точка (−x; −y).

Когда угол проходит от −π/2 до π/2, ордината точки на окружности увеличивается от −1 до 1, и синус возрастает. На участке от π/2 до 3π/2 ордината уменьшается от 1 до −1, поэтому функция убывает. Повторение окружности переносит эти участки на 2πk, где k — целое число. Максимум 1 достигается при x = π/2 + 2πk, а минимум −1 — при x = −π/2 + 2πk.

Основные свойства функции y = sin x

Таблица помогает быстро выбрать свойство, нужное для конкретной задачи: например, область значений — для проверки возможных ответов, а период — для упрощения аргумента. Буква k обозначает любое целое число, поэтому формулы описывают повторения на всей числовой прямой. При работе на заданном отрезке из общих формул нужно отобрать только подходящие значения.

Разбор задач

Задача 1. Найдите sin x и отметьте соответствующую точку на единичной окружности, если x = π/6. Угол π/6 — это 30°, а для такого стандартного угла синус равен 1/2. На окружности значение синуса является ординатой точки, поэтому её вертикальная координата равна 1/2.

1. Записываем угол: x = π/6.
2. Используем стандартное значение: sin(π/6) = 1/2.
3. Отмечаем на окружности точку в первой четверти с ординатой 1/2; её координаты — (√3/2; 1/2).

Ответ: sin x = 1/2; точка имеет координаты (√3/2; 1/2). По положению точки видно, что обе координаты положительны, поскольку угол лежит в первой четверти.

Задача 2. Решите sin x = 0 на отрезке [−π; 2π]. Нули синуса имеют общий вид x = πk, где k — целое число. Теперь надо не перебирать значения наугад, а найти те целые k, для которых −π ≤ πk ≤ 2π. Деление на положительное π даёт −1 ≤ k ≤ 2.

1. Записываем общий вид решения: x = πk, k ∈ ℤ.
2. Учитываем границы отрезка: −1 ≤ k ≤ 2.
3. Подставляем целые k = −1, 0, 1, 2 и получаем x = −π, 0, π, 2π.

Ответ: −π, 0, π, 2π. Проверка границ показывает, что оба конца отрезка тоже являются нулями.

Задача 3. Сравните sin(−5π/6) и sin(π/6), затем укажите промежутки возрастания на [−2π; 2π]. Сначала применим нечётность, чтобы заменить отрицательный аргумент. Для промежутков монотонности используем общий интервал возрастания [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk] и оставим его части внутри заданного отрезка.

1. По нечётности sin(−5π/6) = −sin(5π/6).
2. Так как sin(5π/6) = 1/2, получаем sin(−5π/6) = −1/2, тогда как sin(π/6) = 1/2. Следовательно, sin(−5π/6) < sin(π/6).
3. При k = −1 общий интервал возрастания пересекает отрезок по [−2π; −3π/2]; при k = 0 получаем [−π/2; π/2]; при k = 1 — [3π/2; 2π].

Ответ: sin(−5π/6) < sin(π/6); синус возрастает на [−2π; −3π/2], [−π/2; π/2] и [3π/2; 2π]. Концы этих отрезков могут быть точками поворота или границами рассматриваемого промежутка.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что синус может принимать любые действительные значения. Её допускают, забывая, что синус — это ордината точки единичной окружности, а она ограничена числами −1 и 1. Проверить ответ можно неравенством −1 ≤ sin x ≤ 1. Если вычисление дало, например, 1,3, значит, в нём есть ошибка.

Не следует путать периоды π и 2π. При сдвиге аргумента на π точка переходит в противоположную, поэтому sin(x + π) = −sin x, а не sin x. Путают эти числа потому, что оба встречаются в формулах для синуса. Проверка на x = π/2 сразу показывает разницу: sin(π/2) = 1, а sin(3π/2) = −1.

Записывать нули только как 0 и π — значит перечислить лишь часть решений. Это происходит, когда забывают о периодичности и не используют целый параметр. Запишите x = πk и проверьте несколько значений k: при k = −1 получается −π, при k = 2 — 2π. На заданном промежутке затем отберите подходящие числа.

Симметрию графика относительно начала координат иногда принимают за признак чётности. Но чётная функция симметрична относительно оси y, а симметрия синусоиды относительно начала координат означает нечётность. Проверка по формуле проста: для чётной функции было бы sin(−x) = sin x, но верно sin(−x) = −sin x. Например, sin(−π/2) = −1, а sin(π/2) = 1.

Связь с другими темами

Для работы с синусом нужно уметь пользоваться единичной окружностью, переводить углы в радианы и знать значения синусов основных углов. Эти знания позволяют находить координаты точек и понимать график. Далее свойства синуса применяются при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Они также понадобятся при преобразованиях графиков и изучении производной синуса.

Что запомнить

• Область определения y = sin x — все действительные числа.
• Множество значений синуса — [−1; 1].
• Наименьший положительный период синуса равен 2π.
• Функция y = sin x нечётная: sin(−x) = −sin x.
• Нули синуса имеют вид x = πk, где k — целое число.
• Наибольшее значение синуса равно 1, наименьшее — −1.