"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Функция y = cos x каждому действительному числу ставит в соответствие его косинус. Она описывает периодические процессы и помогает исследовать графики, решать уравнения и работать с тригонометрическими выражениями. Косинус определён при любом x, принимает значения от −1 до 1, является чётной функцией и повторяет свои значения через каждые 2π. По этим свойствам можно построить график и быстро находить его характерные точки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = cos x — правило, каждому действительному числу x ставящее в соответствие значение косинуса этого числа. Запись y = cos x означает, что значение y зависит от выбранного x. Это помогает рассматривать косинус не только как число для отдельного угла, но и как изменяющуюся величину.
Аргумент функции — число x, которому соответствует значение cos x. Например, в равенстве y = cos(π/3) аргументом служит π/3, а значением функции — 1/2. Различать аргумент и значение нужно, чтобы правильно читать формулы и отмечать точки графика.
Период функции — ненулевое число T, при котором cos(x + T) = cos x для всех x; наименьший положительный период косинуса равен 2π. Это означает, что после прибавления такого периода функция снова принимает прежние значения. Период нужен, чтобы находить значения и строить график, не повторяя вычисления для каждого аргумента.
График функции y = cos x — множество точек координатной плоскости с координатами (x; cos x). Каждой точке графика соответствует аргумент по горизонтали и значение косинуса по вертикали. По графику можно увидеть, где функция обращается в ноль, возрастает или достигает наибольшего значения.
Косинус можно определить для любого действительного числа, потому что число x задаёт поворот на единичной окружности, а поворот возможен на любой угол. Даже если угол больше полного круга или отрицателен, ему всё равно соответствует точка окружности. Поэтому для любого x находится cos x, и ограничений на область определения нет.
На единичной окружности радиус равен 1, а cos x — абсцисса точки, до которой повернулся радиус. Абсцисса не может быть левее −1 или правее 1, поскольку все точки окружности находятся внутри этих вертикальных границ. Отсюда следует −1 ≤ cos x ≤ 1; крайние значения достигаются в правой и левой точках окружности.
Если к углу прибавить 2π, поворот совершит ещё один полный круг и закончится в той же точке. Абсцисса точки не изменится, значит, не изменится и косинус: cos(x + 2π) = cos x. Такое повторение значений и называют периодичностью, а 2π — наименьшим положительным периодом.
Углы x и −x на единичной окружности задают точки, зеркально расположенные относительно горизонтальной оси. При отражении меняется вертикальная координата, но горизонтальная остаётся прежней. Так как косинус равен абсциссе, получаем cos(−x) = cos x; это свойство означает, что функция чётная, а её график симметричен относительно оси y.
Для построения графика сначала отмечают значения в ключевых точках: cos 0 = 1, cos(π/2) = 0, cos π = −1, cos(3π/2) = 0 и cos 2π = 1. Между ними проводят плавную линию, которая сначала убывает, а затем возрастает. Нули возникают при x = π/2 + πk, максимумы — при x = 2πk, минимумы — при x = π + 2πk, где k ∈ Z; периодичность позволяет продолжить рисунок в обе стороны.
| Свойство | y = cos x |
|---|---|
| Область определения | ℝ |
| Множество значений | [−1; 1] |
| Чётность | Чётная: cos(−x) = cos x |
| Периодичность и наименьший положительный период | Периодическая; 2π |
| Нули функции | x = π/2 + πk, k ∈ Z |
| Промежутки возрастания | [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z |
| Промежутки убывания | [2πk; π + 2πk], k ∈ Z |
| Наибольшее и наименьшее значения | Наибольшее 1, наименьшее −1 |
| Точки максимума и минимума | Максимум при x = 2πk; минимум при x = π + 2πk, k ∈ Z |
| Знак функции на основных промежутках | Положительна при −π/2 + 2πk < x < π/2 + 2πk; отрицательна при π/2 + 2πk < x < 3π/2 + 2πk, k ∈ Z |
В строках с промежутками k — любое целое число, поэтому таблица описывает поведение функции на всей числовой прямой. Для конкретного отрезка выберите те промежутки, которые в него попадают. Границы с нулями добавляют отдельно, поскольку там значение косинуса равно нулю.
Найти значение cos x и определить знак функции при x = 5π/3.
Сначала заметим, что 5π/3 — это π + 2π/3, а не угол, который нужно вычислять по десятичному приближению. Можно также представить его как 2π − π/3. Такая запись связывает аргумент с табличным углом π/3.
Используем периодичность и чётность: cos(5π/3) = cos(−π/3) = cos(π/3). Табличное значение cos(π/3) равно 1/2. Следовательно, значение функции положительно.
Ответ: cos(5π/3) = 1/2; знак — положительный.
Решить уравнение cos x = 1/2 на промежутке [−2π; 2π].
На единичной окружности значение 1/2 косинус принимает при углах π/3 и −π/3 за один период. С учётом повторения через 2π общее решение имеет вид x = 2πk ± π/3, где k ∈ Z. Две серии нужны, поскольку косинус симметричен относительно оси x = 0.
Теперь отбираем решения из заданного отрезка. При k = 0 получаем π/3 и −π/3, а при k = 1 или k = −1 получаем углы за пределами отрезка либо его границы, не являющиеся корнями. Другие целые k дают ещё более удалённые значения.
Ответ: x = −π/3 и x = π/3.
Исследовать функцию y = cos x на промежутке [−2π; 2π] и построить её график.
Отмечаем, что косинус чётный, поэтому левая часть графика получается отражением правой относительно оси y. На отрезке удобно отметить точки, где аргумент кратен π/2: −2π, −3π/2, −π, −π/2, 0, π/2, π, 3π/2 и 2π. Их значения чередуются по известной последовательности 1, 0, −1, 0, 1.
Нули на отрезке находятся при x = π/2 + πk: это −3π/2, −π/2, π/2 и 3π/2. Максимумы равны 1 при x = −2π, 0 и 2π, а минимумы равны −1 при x = −π и π. Между соседними отмеченными точками проведите плавную линию.
Проверьте направление изменения: от −2π до −π функция убывает, от −π до 0 возрастает, от 0 до π убывает, а от π до 2π возрастает. Значения графика не выходят за пределы от −1 до 1. Симметрия и повторение через 2π служат дополнительной проверкой построения.
Ответ: график проходит через перечисленные ключевые точки, имеет нули ±π/2 и ±3π/2, максимумы в −2π, 0, 2π и минимумы в −π, π.
Период косинуса иногда принимают за π, потому что в формулах часто встречается половина полного оборота. Но cos(x + π) = −cos x, поэтому значение обычно меняет знак, а не повторяется. Проверка проста: при x = 0 получаем cos 0 = 1, тогда как cos π = −1; значит, π не является периодом.
Область определения путают с отрезком [−1; 1], поскольку этот отрезок часто указывают рядом со свойствами косинуса. Однако он ограничивает значения y, а аргумент x может быть любым действительным числом. Для самопроверки разделите вопрос на два: что можно подставить и какой результат может получиться.
Из равенства cos(−x) = cos x иногда ошибочно делают вывод cos(−x) = −cos x, перенося на косинус свойство синуса. Косинус чётный: отражённые на окружности точки имеют одинаковую абсциссу. Подставьте x = 0: равенство cos(−0) = −cos 0 потребовало бы 1 = −1, что сразу выявляет ошибку.
В уравнении cos x = a записывают только один корень за период и теряют второе решение. Обычно горизонтальная прямая y = a пересекает график косинуса дважды на одном периоде, что соответствует формулам x = 2πk ± arccos a. Проверяйте ответы на окружности или подстановкой и не забывайте отбирать корни по заданному промежутку.
Для работы с косинусом нужны знания о единичной окружности, радианной мере угла и табличных значениях тригонометрических функций. Эти сведения помогают находить координаты точки и вычислять косинус без построения графика. Функция тесно связана с синусом, формулами приведения и преобразованиями графиков: многие свойства одной функции помогают понять другую. Позже косинус используется при решении тригонометрических уравнений, исследовании функций и изучении производной.
Как это устроено
Почему период функции y = cos x равен 2π?
При увеличении угла на 2π точка на единичной окружности делает полный оборот и возвращается в исходное положение. Поэтому cos(x + 2π) = cos x для любого x. Меньшее положительное число не возвращает все значения косинуса на прежние места.
Чем область определения отличается от множества значений косинуса?
Область определения — это все числа, которые можно подставить вместо x; для косинуса это ℝ. Множество значений — результаты вычисления cos x, они лежат на отрезке [−1; 1]. Аргумент может быть сколь угодно большим по модулю, а значение косинуса остаётся в этих границах.
Почему косинус является чётной функцией?
На единичной окружности углам x и −x соответствуют точки, симметричные относительно горизонтальной оси. У них одинаковые абсциссы, а косинус — это именно абсцисса точки. Поэтому cos(−x) = cos x.
Как быстро построить график y = cos x?
Отметьте точки (0; 1), (π/2; 0), (π; −1), (3π/2; 0) и (2π; 1), затем плавно соедините их. Повторите получившуюся дугу в обе стороны с шагом 2π. График симметричен относительно оси y.
Как записать все решения уравнения cos x = a?
Сначала проверьте, что −1 ≤ a ≤ 1, иначе решений нет. Если α = arccos a, то все решения записываются так: x = 2πk ± α, k ∈ Z. Две серии корней нужны, потому что одному значению косинуса обычно соответствуют два угла за полный оборот.
10.2. Функция у = cos х
