10.3. Функция у = tg х

Определения и обозначения

Тангенс угла x — это отношение синуса этого угла к его косинусу: tg x = sin x / cos x. Такое отношение показывает, как связаны синус и косинус выбранного угла. Оно имеет смысл только тогда, когда знаменатель не равен нулю. Поэтому тангенс нельзя вычислить для углов с cos x = 0.

Функция y = tg x — правило, которое каждому допустимому значению x ставит в соответствие тангенс этого угла. Слово «допустимому» здесь существенно: если косинус равен нулю, значения функции нет. Это правило позволяет рассматривать тангенс не только для одного угла, но и для целого набора аргументов. По нему можно исследовать значения функции и строить график.

Период тангенса — число π, после прибавления которого значение функции повторяется: tg(x + π) = tg x. Поэтому, изучив поведение функции на одном участке длины π, можно понять, как устроены остальные её части. Период помогает записывать решения уравнений и не пропускать повторяющиеся значения. Для тангенса наименьший положительный период именно π.

График функции y = tg x — множество точек с координатами (x; tg x) для всех допустимых x. По графику можно увидеть, где функция обращается в ноль, как меняется её значение и в каких точках она не определена. Из-за периодичности ветви графика повторяются через π. Промежутки между соседними разрывами при этом не соединяются через точки, где тангенс не существует.

Как это устроено

Равенство tg x = sin x / cos x сразу ограничивает область определения. Синус и косинус существуют при любом действительном x, но в дроби нельзя делить на ноль. Косинус обращается в ноль при x = π/2 + πk, где k — целое число, поэтому эти значения вычёркивают. Например, π/2 и 3π/2 запрещены, как и все углы, получаемые добавлением целого числа π.

Чтобы понять период, рассмотрим, что происходит при замене x на x + π. Синус и косинус при таком сдвиге меняют знак: sin(x + π) = −sin x, а cos(x + π) = −cos x. В дроби минусы сокращаются, поэтому tg(x + π) = tg x. Значит, достаточно передвинуться по оси x на π, чтобы получить такое же значение, и ветви графика начинают повторяться.

На каждом промежутке между соседними разрывами функция непрерывна и возрастает. К примеру, один такой промежуток — (−π/2; π/2): у левой границы значения стремятся к −∞, а у правой — к +∞. Между границами тангенс проходит через все промежуточные значения, поэтому его область значений — вся числовая прямая. В других промежутках происходит то же самое, поскольку ветви повторяются.

Нули получаются там, где числитель sin x равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Синус обращается в ноль при x = πk, поэтому это и есть нули тангенса. Напротив, при x = π/2 + πk нулю равен знаменатель: там функция не определена, и график имеет вертикальные асимптоты — прямые, к которым ветви неограниченно приближаются. Нули и асимптоты помогают определить расположение ветвей.

Функция нечётная, потому что sin(−x) = −sin x, а cos(−x) = cos x. Подставляя эти свойства в отношение синуса к косинусу, получаем tg(−x) = −tg x. Для графика это означает симметрию относительно начала координат: если точка (x; y) лежит на графике, то точка (−x; −y) тоже лежит на нём. Это свойство удобно использовать для проверки построения.

Основные свойства функции y = tg x

Таблица помогает быстро сверить область определения, нули и промежутки возрастания, когда нужно решить задачу или описать график. При поиске решений обязательно учитывайте целое k: оно задаёт все повторения через период π. Если в задаче задан промежуток, сначала запишите общий вид ответа, а потом оставьте только подходящие значения.

Разбор задач

Найти область определения функции y = tg x. Нужно выяснить, при каких x можно вычислить тангенс, то есть проверить знаменатель дроби sin x / cos x. Числитель ограничений не создаёт, потому что синус определён для всех действительных чисел. Исключить следует только те значения, при которых косинус равен нулю.

1. Запишем определение тангенса: tg x = sin x / cos x. Чтобы дробь существовала, потребуем cos x ≠ 0. Косинус равен нулю при x = π/2 + πk, k ∈ Z.

2. Исключим из числовой прямой все найденные значения. Остальные x допустимы, так как в них знаменатель дроби не равен нулю. Это и задаёт область определения функции.

Ответ: x ∈ R, x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z.

Найти период функции y = tg(3x) и указать её нули. Здесь аргумент тангенса равен 3x, поэтому период самой функции нельзя просто переписать без учёта множителя 3. Для нулей используем тот факт, что тангенс равен нулю при аргументе πk. Полученные значения x проверяем подстановкой в условие для аргумента.

1. Пусть T — период функции. Увеличение x на T должно увеличить аргумент 3x на период тангенса π, поэтому 3T = π. Отсюда T = π/3.

2. Для нулей решаем уравнение tg(3x) = 0. Тангенс обращается в ноль, когда его аргумент равен πk, значит, 3x = πk. Делим обе части равенства на 3.

Ответ: период π/3; нули x = πk/3, k ∈ Z.

Решить уравнение tg x = √3 на промежутке [0; 2π]. Сначала найдём угол, тангенс которого равен √3, а затем учтём периодичность функции. Одного основного значения недостаточно: на отрезке длиной 2π могут встретиться повторения. В конце проверим, какие из общих решений попадают в заданные границы.

1. Из табличных значений знаем, что tg(π/3) = √3. Поэтому основное решение имеет вид x = π/3. Все решения уравнения отличаются от него на целое число периодов π.

2. Запишем общий вид: x = π/3 + πk, k ∈ Z. На отрезке [0; 2π] подходят k = 0 и k = 1, поскольку при них получаются π/3 и 4π/3. При других целых k значения выходят за границы отрезка.

Ответ: x = π/3; 4π/3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что период тангенса равен 2π, как у синуса и косинуса. Так думают, потому что тангенс определён через эти функции и наследует некоторые их свойства. Но одновременная смена знаков синуса и косинуса при сдвиге на π не меняет их отношение. Проверьте период равенством tg(x + π) = tg x.

Ошибка: включать в область определения x = π/2 + πk. Эти значения могут случайно попасть в ответ, если забыть проверить знаменатель в дроби sin x / cos x. Подставьте такой x в косинус: cos x = 0, значит, деление невозможно. Всегда записывайте ограничение cos x ≠ 0 до выполнения остальных действий.

Ошибка: утверждать, что значения тангенса лежат только от −1 до 1. Это ограничение относится к синусу и косинусу, но не к их отношению. Например, tg(π/3) = √3, а функция на промежутке между асимптотами принимает и сколь угодно большие положительные и отрицательные значения. Проверить себя можно по графику или по области значений: это все действительные числа.

Ошибка: записывать в ответе уравнения tg x = a только одно значение. Угол arctg a даёт лишь основное решение, а остальные возникают из-за периода π. Проверьте, можно ли прибавить к найденному углу πk, где k — любое целое число: тангенс не изменится. Общий ответ — x = arctg a + πk, k ∈ Z, а при заданном промежутке нужно отобрать подходящие решения.

Связь с другими темами

Для изучения тангенса нужны определения синуса и косинуса, их значения на единичной окружности и представление о периодичности. Связь tg x = sin x / cos x позволяет применять тригонометрические тождества и формулы приведения. Позже тангенс встречается в тригонометрических уравнениях, преобразовании выражений и исследовании графиков. Знание периода, нулей и точек разрыва помогает решать такие задачи без построения каждого значения отдельно.

Что запомнить

• tg x = sin x / cos x.
• Функция не определена при x = π/2 + πk, k ∈ Z.
• Период тангенса равен π.
• Множество значений функции — все действительные числа.
• Нули функции: x = πk, k ∈ Z.
• Функция нечётная и возрастает на каждом промежутке (−π/2 + πk; π/2 + πk).