10.4. Функция у = ctg х

Определения и обозначения

Котангенс угла — отношение косинуса этого угла к его синусу: ctg x = cos x / sin x. Здесь x обозначает угол, а ctg — сокращённое обозначение слова «котангенс». Такое определение связывает котангенс с уже знакомыми синусом и косинусом, поэтому позволяет находить его значения и проверять, где выражение имеет смысл.

Функция y = ctg x каждому допустимому значению x сопоставляет котангенс угла x. Функцией называют правило, по которому каждому аргументу соответствует ровно одно значение. Это обозначение удобно, когда нужно исследовать зависимость между x и y, составить таблицу значений или построить график.

Период функции — число T, после прибавления которого к аргументу значение функции повторяется: f(x + T) = f(x). Для котангенса наименьший положительный период равен π, поэтому достаточно изучить поведение функции на одном промежутке длины π. Затем её график можно продолжить повторением той же формы вправо и влево.

Как это устроено

Из определения ctg x = cos x / sin x следует, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Синус обращается в ноль при x = πk, где k — целое число, поэтому эти значения исключаются из области определения. Например, при x = 0 нельзя вычислять котангенс, даже если косинус в этой точке существует: деление на ноль не определено.

При замене x на x + π синус и косинус меняют знак: sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. В дроби два знака минус сокращаются, и получается ctg(x + π) = ctg x. Значит, сдвиг на π уже возвращает то же значение, а наименьший положительный период котангенса — π, а не 2π.

Нуль дроби возникает, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому для поиска нулей решают cos x = 0, откуда x = π/2 + πk; в этих точках sin x равен 1 или −1. Напротив, при x = πk знаменатель равен нулю, и функция не имеет значения. График приближается к этим вертикальным прямым, не пересекая их.

Между соседними точками разрыва, то есть на промежутке (πk; π(k + 1)), котангенс непрерывен и убывает. При приближении к левому концу промежутка справа значения неограниченно растут, а перед правым концом становятся сколь угодно малыми. Поэтому ветвь графика идёт сверху вниз, пересекает ось x посередине промежутка и не обрывается внутри него.

Котангенс нечётный, потому что cos(−x) = cos x, а sin(−x) = −sin x. Подстановка этих равенств в отношение косинуса к синусу даёт ctg(−x) = −ctg x. Для графика это означает симметрию относительно начала координат: каждой точке (x; y) соответствует точка (−x; −y).

Основные свойства функции y = ctg x

Таблица помогает быстро проверить, какие значения допустимы, где искать нули и как вести себя графику. При решении уравнения сначала учитывай область определения, а затем используй периодичность, чтобы записать все решения. Для построения достаточно отметить асимптоты и нуль на одном промежутке, изобразить убывающую ветвь и повторить её с периодом π.

Разбор задач

Проверка области определения

Условие. Укажите, определена ли функция y = ctg x при x = 0, x = π/4 и x = π. Сначала нужно проверить синус каждого аргумента: именно он стоит в знаменателе определения котангенса. Если синус равен нулю, соответствующее значение исключается.

1. При x = 0 имеем sin 0 = 0, поэтому ctg 0 не определён.
2. При x = π/4 синус равен √2/2, то есть не равен нулю, поэтому котангенс определён.
3. При x = π имеем sin π = 0, поэтому ctg π не определён.

Ответ. Функция определена при x = π/4 и не определена при x = 0 и x = π. Здесь важно проверять именно знаменатель, а не только то, существует ли значение косинуса. Оба исключённых аргумента имеют вид πk.

Нули на заданном промежутке

Условие. Найдите все нули функции y = ctg x на промежутке [0; 2π]. Нуль дроби получается, когда её числитель равен нулю, но знаменатель при этом не равен нулю. Поэтому решаем cos x = 0 и после этого проверяем найденные значения синуса.

1. Общее решение уравнения cos x = 0 имеет вид x = π/2 + πk, где k ∈ Z.
2. На отрезке [0; 2π] подходят x = π/2 и x = 3π/2.
3. В обеих точках синус не равен нулю, значит, обе точки действительно являются нулями котангенса.

Ответ. x = π/2 и x = 3π/2. Значения x = 0, π и 2π не добавляются: при них функция не определена, а не равна нулю. Проверка знаменателя помогает отличить нули от точек разрыва.

Уравнение ctg x = 1

Условие. Решите уравнение ctg x = 1 на промежутке [−π; 2π]. Сначала найдём одно решение, затем запишем общее с учётом периода π. После этого оставим только те корни, которые принадлежат заданному промежутку.

1. Известно, что ctg(π/4) = 1, поэтому общее решение имеет вид x = π/4 + πk, k ∈ Z.
2. Подставляя целые значения k, получаем, например, −3π/4 при k = −1, π/4 при k = 0 и 5π/4 при k = 1.
3. При k = −2 значение −7π/4 меньше −π, а при k = 2 значение 9π/4 больше 2π. Следовательно, других корней на заданном промежутке нет.

Ответ. x = −3π/4, π/4, 5π/4. Общая формула нужна потому, что котангенс повторяет значения через каждые π. Проверка границ промежутка не позволяет пропустить корни или включить лишние.

Типичные ошибки

Первая ошибка — включать x = πk в область определения. Обычно это происходит, когда замечают, что cos x существует, но забывают проверить знаменатель дроби. Для самопроверки подставь такие значения в sin x: если получается ноль, котангенс не определён.

Вторая ошибка — считать периодом котангенса 2π. Так происходит, если помнить период синуса и косинуса по отдельности, но не проверять их отношение. Подставь x + π в формулу: оба значения меняют знак, и минусы сокращаются, поэтому период уже равен π.

Третья ошибка — искать нули из условия sin x = 0. Эти точки как раз запрещены для функции, поскольку синус находится в знаменателе. Чтобы проверить себя, используй правило для дроби: нулю равен числитель cos x, а знаменатель sin x при этом должен быть ненулевым.

Четвёртая ошибка — рисовать ветви возрастающими. Иногда направление путают, если смотрят только на периодичность и не проверяют поведение между асимптотами. На каждом промежутке (πk; π(k + 1)) значения идут от +∞ к −∞, поэтому ветвь должна убывать слева направо.

Связь с другими темами

Для работы с котангенсом нужны определения синуса и косинуса, их нули и период π. Именно эти знания позволяют определить область допустимых значений, найти нули и доказать периодичность котангенса. Если уверенно работать с синусом и косинусом, свойства новой функции легче проверять самостоятельно.

График и свойства котангенса применяют при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Период помогает записывать бесконечные серии решений, а промежутки монотонности — отбирать корни и сравнивать значения функции. Асимптоты показывают, какие точки нужно исключить.

Периодичность и разрывы важны и при изучении преобразований графиков тригонометрических функций. Они помогают понять, как меняются график и его отдельные ветви при сдвиге или изменении масштаба. Эти идеи пригодятся и для исследования других периодических функций.

Что запомнить

• ctg x = cos x / sin x.
• Область определения: x ≠ πk, k ∈ Z.
• Период котангенса равен π.
• Нули: x = π/2 + πk, k ∈ Z.
• Функция нечётная.
• На каждом промежутке (πk; π(k + 1)) функция убывает от +∞ до −∞.