§ 11. Тригонометрические уравнения и неравенства

Определения и обозначения

Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент тригонометрической функции. Корнем называют такое значение переменной, при котором равенство становится верным. Множеством всех решений называют все найденные корни, поэтому одного подходящего значения обычно недостаточно.

Тригонометрическое неравенство содержит тригонометрические функции неизвестного и знак сравнения: <, >, ≤ или ≥. Его решением является множество всех значений переменной, при которых неравенство выполняется. Такой ответ часто записывают промежутками и объединяют с учётом периода функции.

Общее решение — это запись всех корней уравнения через целый параметр k, где k ∈ Z. Параметр учитывает повторение значений функции через один или несколько периодов. Например, запись x = α + 2πk сразу включает бесконечно много углов, отличающихся на 2π.

Обратные тригонометрические функции позволяют по значению функции найти соответствующий угол: arcsin, arccos, arctg и arcctg. Они дают основной, или выбранный, угол, а остальные корни получают с помощью периодичности и симметрии. Поэтому arctg a — не единственное решение равенства tg x = a.

Как это устроено

Периодичность означает, что функция повторяет свои значения через фиксированный промежуток. Например, sin(x + 2π) = sin x, поэтому найденный угол α порождает бесконечный ряд α + 2πk. Если не добавить целое число периодов, будут потеряны почти все корни уравнения.

Уравнение sin x = a удобно понимать по единичной окружности: синус — это ордината, то есть вторая координата точки. Горизонтальная линия y = a пересекает окружность в подходящих точках, если |a| ≤ 1. Углы этих точек и дают решения, обычно расположенные симметрично относительно вертикального диаметра.

Косинус — это абсцисса точки единичной окружности, поэтому cos x = a решают пересечением окружности с вертикальной линией x = a. При допустимом значении внутри отрезка [−1; 1] обычно получаются две точки за полный оборот. Тангенс и котангенс связаны с отношением координат, а их значения повторяются уже через π, поэтому для них записывают одну серию решений.

Неравенство решают не поиском отдельных корней, а выделением всей дуги или промежутка, где выполняется нужный знак. Сначала находят граничные точки, где функция равна числу из условия, затем определяют знак на дугах между ними. После этого учитывают, входят ли концы дуг, и пересекают результат с заданным промежутком.

Основные виды простейших тригонометрических уравнений

Таблица помогает сначала проверить, существуют ли решения, а затем выбрать нужную формулу. В формулах arcsin, arccos, arctg и arcctg обозначают основные значения обратных функций. После записи общего решения отдельно проверяют ограничения исходного уравнения.

Разбор задач

1. Решить уравнение 2sin x − 1 = 0. Сначала из уравнения выделим синус, чтобы применить стандартную формулу. Значение ½ допустимо, поэтому решения существуют.

1. 2sin x = 1, значит sin x = ½.
2. Основной угол равен arcsin ½ = π/6.
3. Записываем две серии: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

2. Решить на промежутке [0; 2π] неравенство cos x ≤ −½. Граничные точки определяют места, где косинус равен −½. На единичной окружности нужно взять дугу с абсциссой не больше −½, а затем оставить только углы одного оборота.

1. cos x = −½ при x = 2π/3 и x = 4π/3 на промежутке [0; 2π].
2. Косинус не больше −½ на дуге между этими точками, включая концы.
3. Получаем x ∈ [2π/3; 4π/3].

Ответ: x ∈ [2π/3; 4π/3]. Концы включены, потому что в условии стоит знак ≤.

3. Решить уравнение 2sin²x − 3sin x + 1 = 0. В уравнение входят только sin x и его квадрат, поэтому удобно временно заменить синус новой переменной. После решения квадратного уравнения нужно проверить, могут ли найденные числа быть значениями синуса.

1. Пусть t = sin x. Тогда 2t² − 3t + 1 = 0.
2. Разложение даёт (2t − 1)(t − 1) = 0, поэтому t = ½ или t = 1.
3. Оба значения допустимы: sin x = ½ даёт x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, а sin x = 1 даёт x = π/2 + 2πk.

Ответ: x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk или x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

При решении sin x = a или cos x = a иногда записывают только один найденный угол. Ошибка появляется из-за того, что забывают о второй точке окружности и периодичности. Проверьте себя: рассмотрите полный оборот и прибавьте все периоды.

Для тангенса или котангенса могут ошибочно использовать период 2π. Это даёт правильные, но неполные ответы, потому что одинаковые значения повторяются уже через π. Проверьте формулу подстановкой x + π и убедитесь, что значение функции не изменилось.

В неравенстве некоторые отмечают только точки равенства и не выбирают промежутки между ними. Причина в том, что корни граничного уравнения принимают за готовый ответ. Проверьте знак функции хотя бы в одной точке каждой выделенной дуги и решите, входят ли концы.

Иногда игнорируют ограничения: берут sin x = 3 или разрешают нулевой знаменатель в рациональном выражении. Такие значения не соответствуют области определения исходной записи. После каждого преобразования проверьте диапазон синуса и косинуса, а также знаменатели.

Связь с другими темами

До начала темы нужны единичная окружность, основные значения тригонометрических функций и их периоды. Без них трудно определить положение корней и выбрать нужные дуги. Повторение этих сведений заметно сокращает число ошибок.

При решении сложных уравнений используются обычные алгебраические приёмы: преобразование выражений, разложение на множители, замена переменной и решение квадратного уравнения. Поэтому важно уметь возвращаться от t к исходной функции. Каждое найденное значение нужно проверять на допустимость.

Тригонометрические уравнения и неравенства понадобятся при изучении производной и исследовании функций. Они описывают периодические процессы, например колебания, поэтому встречаются в математических моделях и задачах по физике. Навык работы с промежутками особенно полезен при анализе графиков.

Что запомнить

• Синус и косинус принимают значения только от −1 до 1.
• Период синуса и косинуса равен 2π, а период тангенса и котангенса — π.
• При решении общего тригонометрического уравнения нужно записать все серии корней.
• Неравенства удобно решать по единичной окружности или по графику функции.
• После введения замены необходимо проверить допустимость найденных значений.
• При решении на промежутке из общего решения выбирают только корни, принадлежащие этому промежутку.