§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства

Определения и обозначения

Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент тригонометрической функции: например, sin x = ½ или cos(2x − π) = 0. Корнем называют такое значение x, при котором выражение имеет смысл и равенство выполняется. Все корни вместе образуют множество решений, которое обычно записывают общей формулой.

Тригонометрическое неравенство — неравенство, содержащее тригонометрические функции неизвестного, например sin x ≥ ½. Его решением являются не отдельные числа, а множество промежутков, иногда объединённых между собой. Такой ответ показывает все участки числовой прямой, где неравенство верно.

Основные тригонометрические уравнения — это уравнения вида sin x = a, cos x = a, tg x = a и ctg x = a. Они служат простейшими моделями, к которым сводят более сложные уравнения. Здесь a — заданное число, а x — неизвестный угол.

Общий вид решения — запись всех корней с помощью целого параметра k, где k ∈ Z. Параметр учитывает бесконечное повторение значений тригонометрических функций через их период. Без него обычно получится лишь один или несколько корней, а не полный ответ.

Как это устроено

Единичная окружность связывает угол с координатами точки: её вертикальная координата равна sin x, а горизонтальная — cos x. Поэтому для sin x = a нужно найти точки окружности с высотой a, а для cos x = a — точки с абсциссой a. При |a| ≤ 1 обычно получаются две симметричные точки, а после полного оборота те же точки повторяются, поэтому к углам добавляют 2πk.

Тангенс равен отношению sin x к cos x, а котангенс — отношению cos x к sin x. При повороте на π обе координаты единичной окружности меняют знак, и отношение координат не изменяется. Поэтому tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x: их период равен π, а не 2π; при этом значения, где знаменатель равен нулю, исключаются.

Обратная функция задаёт один удобный начальный угол: α = arcsin a, α = arccos a или α = arctg a. Этот угол не является всеми решениями, потому что исходная функция периодична и может принимать то же значение в другой точке периода. Поэтому к начальному углу добавляют нужный период, а для синуса и косинуса учитывают симметричную вторую точку.

Сложное уравнение стараются преобразовать к одному или нескольким основным. Для этого раскладывают выражение на множители, вводят замену t = cos x или t = sin x, применяют тождества и формулы приведения, а затем решают получившиеся простые уравнения. После обратной замены проверяют ограничения: например, cos x и sin x не могут быть больше 1 по модулю.

Неравенство удобно решать на единичной окружности: сначала отмечают точки, где функция равна граничному значению, затем выбирают дуги с нужной координатой. На графике действуют так же: участки выше оси или прямой y = a соответствуют одному знаку, а ниже — другому. Найденный участок повторяют через период и включают границы при знаках ≥ или ≤.

Основные тригонометрические уравнения

Таблица помогает быстро выбрать формулу после приведения уравнения к основному виду. Сначала проверьте условие существования и область определения, затем подставьте значение a и не забудьте указать k ∈ Z. Для синуса и косинуса особенно важно записать обе симметричные серии либо использовать эквивалентную компактную формулу.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение 2 sin x − √3 = 0.

Нужно сначала оставить синус без коэффициента, чтобы получить основное уравнение. Значение √3⁄2 принадлежит отрезку [−1; 1], значит, решения существуют. Угол π⁄3 имеет синус √3⁄2, а второй угол в периоде равен 2π⁄3.

1. Перенесём √3 и разделим равенство на 2: sin x = √3⁄2.
2. Запишем две серии углов: x = π⁄3 + 2πk или x = 2π⁄3 + 2πk.
3. Укажем, что k — любое целое число, поскольку синус повторяется через 2π.

Ответ: x = π⁄3 + 2πk или x = 2π⁄3 + 2πk, k ∈ Z. Обе серии нужны, потому что за один оборот окружности синус принимает значение √3⁄2 дважды.

Задача 2. Решить уравнение 2 cos² x − 3 cos x + 1 = 0.

Одинаковое выражение cos x встречается как в первой, так и во второй степени, поэтому удобно заменить его новой переменной. После решения квадратного уравнения нужно проверить, могут ли найденные числа быть значениями косинуса. Затем для каждого допустимого значения решается основное тригонометрическое уравнение.

1. Положим t = cos x. Получим 2t² − 3t + 1 = 0.
2. Разложим на множители: (2t − 1)(t − 1) = 0, поэтому t = ½ или t = 1.
3. Оба значения допустимы, так как принадлежат отрезку [−1; 1].
4. При cos x = ½ получаем x = ±π⁄3 + 2πk, а при cos x = 1 — x = 2πk, k ∈ Z.

Ответ: x = ±π⁄3 + 2πk или x = 2πk, k ∈ Z. Недопустимые значения t пришлось бы отбросить ещё до обратной замены, поскольку косинус не бывает больше 1 по модулю.

Задача 3. Решить неравенство 2 sin x − 1 ≥ 0.

Сначала приведём неравенство к виду sin x ≥ ½. На окружности границы задаются углами π⁄6 и 5π⁄6, потому что в этих точках синус равен ½. Между ними синус не меньше ½, а затем тот же промежуток повторяется через 2π.

1. Разделим обе части на 2: sin x ≥ ½.
2. Отметим граничные точки: x = π⁄6 и x = 5π⁄6 в одном периоде.
3. Выберем дугу между ними и включим концы, так как знак неравенства содержит «≥».
4. Добавим период: π⁄6 + 2πk ≤ x ≤ 5π⁄6 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: x ∈ [π⁄6 + 2πk; 5π⁄6 + 2πk], k ∈ Z. Запись промежутком сразу показывает, что подходят все углы между двумя граничными точками, а не только сами границы.

Типичные ошибки

Первая ошибка — записать только один корень для sin x = a или cos x = a. Её допускают, ориентируясь на один найденный угол и забывая о симметричной точке окружности. Проверьте ответ на одном периоде: если |a| < 1, обычно должны быть две точки.

Вторая ошибка — использовать период 2π для тангенса или котангенса. Причина в том, что период этих функций часто механически переносят от синуса и косинуса. Сверяйте формулу: для tg и ctg добавляют πk, а также исключают точки области определения.

Третья ошибка — без проверки делить на sin x или cos x. При нулевом делителе можно потерять целую серию решений, поэтому сначала рассматривают случай делителя, равного нулю, а затем делят в оставшемся случае. Подстановка найденных значений в исходное уравнение помогает обнаружить потерю корней.

Четвёртая ошибка — выбрать не те промежутки в неравенстве или забыть включить границы. Такое происходит, когда отмечают точки, но не проверяют знак функции на выбранной дуге. Подставьте контрольное значение и посмотрите на знак, а при ≥ или ≤ проверьте, определена ли функция на концах.

Связь с другими темами

Для решения темы нужны единичная окружность, значения функций, области определения и периоды. Также понадобятся формулы приведения, тригонометрические тождества, разложение на множители и решение квадратных уравнений. Эти навыки связывают уравнения с изучением функций и графиков.

Тригонометрические модели описывают колебания, вращение и другие периодические процессы. Поэтому тема важна далее при изучении математического анализа, производных, графиков и прикладных задач, где величины повторяются через одинаковые промежутки времени.

Что запомнить

• Решение тригонометрического уравнения обычно записывают через целое число k.
• Для синуса и косинуса значение a должно принадлежать отрезку [−1; 1].
• Период синуса и косинуса равен 2π.
• Период тангенса и котангенса равен π.
• При решении неравенства нужно найти граничные точки и определить знак на каждом промежутке.
• После преобразований необходимо проверять ограничения области определения.
• Ответ следует записывать с учётом периодичности тригонометрических функций.