1. Решение уравнений вида sin t = т. Арксинус

Определения и обозначения

Уравнение sin t = a — это уравнение, в котором по заданному числу a требуется найти все значения угла t. Здесь t может быть любым действительным числом, а a играет роль правой части. Такая запись является основой для решения более сложных тригонометрических уравнений.

Арксинус числа a — число из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a; обозначают его arcsin a. Например, arcsin ½ = π/6, потому что π/6 принадлежит выбранному отрезку и sin(π/6) = ½. Арксинус помогает получить одно, главное, решение уравнения.

Главное значение arcsin a — единственное значение угла на отрезке [−π/2; π/2], соответствующее числу a. Ограничение отрезка необходимо, потому что на всей числовой прямой синус не является взаимно однозначным. Именно главное значение используют как исходную точку для записи остальных корней.

Общее решение тригонометрического уравнения — запись всех его корней с помощью целого параметра. Обычно этот параметр обозначают n и указывают условие n ∈ Z. Такая запись сразу учитывает бесконечное повторение значений синуса.

Как это устроено

Синус любого действительного угла находится между −1 и 1, потому что на единичной окружности его значение является ординатой точки, а координаты этой окружности не выходят за эти границы. Поэтому уравнение sin t = a может иметь действительные решения только при −1 ≤ a ≤ 1. Если правая часть больше 1 или меньше −1, пересечения графика синуса с горизонтальной прямой не будет.

Когда −1 ≤ a ≤ 1, по определению арксинуса угол arcsin a лежит на отрезке [−π/2; π/2] и удовлетворяет равенству sin(arcsin a) = a. Значит, t = arcsin a является одним из решений исходного уравнения. Это решение называют основным или главным, но оно не обязательно единственное.

Одного значения arcsin a недостаточно, поскольку синус периодичен: sin(t + 2πk) = sin t для любого целого k. Кроме того, на одном периоде одинаковые значения синуса часто соответствуют симметричным углам, например π/6 и 5π/6 имеют синус ½. Поэтому нужно учесть и повторение через 2π, и вторую точку с тем же значением.

Оба обстоятельства объединяет формула t = (−1)ⁿ arcsin a + πn, где n ∈ Z. При чётном n она даёт значения arcsin a + 2πk, а при нечётном — π − arcsin a + 2πk. Так формула не теряет ни один корень и не требует отдельно записывать два семейства.

Граничные значения требуют осторожности: при a = 1 синус достигает единицы только в точках π/2 + 2πn, а при a = −1 — в точках −π/2 + 2πn. Формула с двумя симметричными точками здесь фактически начинает повторять одни и те же корни. При |a| > 1 арксинус в действительных числах не определён, и исходное уравнение решений не имеет.

Решение уравнения sin t = a

Сначала сравните правую часть с отрезком [−1; 1], а затем выберите подходящую строку. В общем случае можно пользоваться единой формулой, а для a = 1 и a = −1 удобнее записывать специальные ответы. Параметр n всегда пробегает все целые числа.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение sin t = ½.

Правая часть принадлежит отрезку [−1; 1], поэтому решения существуют. Главное значение равно arcsin ½ = π/6. Теперь нужно учесть второй угол на периоде и периодичность синуса.

1. Используем общую формулу: t = (−1)ⁿπ/6 + πn, n ∈ Z. Она автоматически учитывает оба семейства решений.
2. В более привычной записи получаем t = π/6 + 2πn или t = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z. Второй угол возникает из симметрии синуса: π − π/6 = 5π/6.

Ответ: t = π/6 + 2πn или t = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.

Задача 2. Решить уравнение sin(2t − π/3) = √3/2.

Сложное выражение под синусом удобно временно обозначить новой переменной. После решения вспомогательного уравнения нужно обязательно вернуться от u к t. Иначе будут найдены значения не исходной переменной.

1. Положим u = 2t − π/3. Тогда sin u = √3/2, поэтому u = π/3 + 2πn или u = 2π/3 + 2πn, n ∈ Z.
2. В первом случае 2t − π/3 = π/3 + 2πn, откуда t = π/3 + πn. Во втором случае 2t − π/3 = 2π/3 + 2πn, откуда t = π/2 + πn.

Ответ: t = π/3 + πn или t = π/2 + πn, n ∈ Z.

Задача 3. Решить уравнение sin(3t + π/4) = −√2/2 на отрезке [0; 2π].

Сначала решим уравнение без ограничения на t, а затем отберём подходящие корни. Для вспомогательного угла u = 3t + π/4 имеем sin u = −√2/2. Удобные семейства: u = −π/4 + 2πn и u = 5π/4 + 2πn.

1. Подставляем первое семейство: 3t + π/4 = −π/4 + 2πn, поэтому t = −π/6 + 2πn/3. На отрезке [0; 2π] подходят n = 1, 2, 3, то есть t = π/2, 7π/6, 11π/6.
2. Подставляем второе семейство: 3t + π/4 = 5π/4 + 2πn, поэтому t = π/3 + 2πn/3. Ограничению удовлетворяют n = 0, 1, 2, то есть t = π/3, π, 5π/3.
3. Объединяем найденные значения и располагаем их по возрастанию. Проверка заключается в подстановке каждого корня и убеждении, что он лежит на заданном отрезке.

Ответ: t ∈ {π/3; π/2; π; 7π/6; 5π/3; 11π/6}.

Типичные ошибки

Записывают только t = arcsin a. Так теряют остальные корни, потому что забывают о периодичности и симметрии синуса. Проверьте себя: найдите ещё один угол на промежутке длиной 2π и добавьте период 2πn.

Путают arcsin a с 1/sin a. Ошибка возникает из-за похожей записи, хотя арксинус возвращает угол, а 1/sin a является обратной величиной. Проверка проста: у arcsin a результат измеряется в радианах и удовлетворяет sin(arcsin a) = a.

Применяют арксинус при |a| > 1. Действительного угла с таким синусом не существует, поэтому выражение arcsin a в действительных числах не определено. Сначала всегда проверяйте, принадлежит ли a отрезку [−1; 1].

Неправильно переносят период и знак при замене переменной. При решении уравнения с 2t или 3t легко забыть разделить на коэффициент или ошибиться со знаком. После обратной подстановки проверьте найденное выражение непосредственно в исходном уравнении.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны единичная окружность, значения синуса основных углов, периодичность и симметрия функции y = sin t. Понятие обратной функции объясняет, почему арксинус определяют только на отрезке [−π/2; π/2], где синус проходит все значения от −1 до 1 без повторений. Полученные формулы используются при решении сложных тригонометрических уравнений, неравенств и задач с параметрами.

Что запомнить

• Арксинус числа a существует в действительных числах только при −1 ≤ a ≤ 1.
• arcsin a ∈ [−π/2; π/2].
• sin(arcsin a) = a.
• Основное решение уравнения sin t = a имеет вид t = arcsin a.
• Общее решение: t = (−1)ⁿ arcsin a + πn, n ∈ Z.
• При |a| > 1 уравнение sin t = a действительных решений не имеет.