2. Решение уравнений вида cos t = т. Арккосинус

Определения и обозначения

Уравнение cos t = a — это уравнение, в котором по заданному числу a требуется найти все значения t. Буква t обозначает угол или аргумент косинуса. Такое уравнение является базовым для решения более сложных тригонометрических уравнений.

Арккосинус числа a — число arccos a из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Например, arccos ½ = π/3, потому что cos(π/3) = ½. Арккосинус помогает записать один определённый угол, от которого строятся все решения.

Основное значение арккосинуса — единственное значение arccos a в промежутке [0; π]. На этом промежутке косинус убывает от 1 до −1 и не повторяет значения. Поэтому каждому числу a из [−1; 1] соответствует ровно одно основное значение.

Общее решение уравнения cos t = a — совокупность всех значений t, включая периодические и симметричные решения. Оно записывается так, чтобы не потерять ни один корень. Параметр k ∈ Z означает, что вместо k можно брать любое целое число.

Как это устроено

Параметр a должен принадлежать отрезку [−1; 1], потому что именно этот отрезок является множеством значений косинуса. На единичной окружности координата точки по горизонтали не бывает больше 1 или меньше −1. Поэтому горизонтальная прямая y = a пересекает график косинуса только при −1 ≤ a ≤ 1.

Чтобы определить арккосинус однозначно, косинус рассматривают только на отрезке [0; π]. На всей числовой прямой одно и то же значение повторяется бесконечно много раз, поэтому обратное соответствие было бы неоднозначным. На [0; π] функция проходит все значения от 1 до −1 ровно по одному разу.

Пусть α = arccos a. Тогда cos α = a, а α лежит в [0; π]. Косинус является чётной функцией: cos(−α) = cos α, поэтому число −α тоже даёт значение a. Так появляются два симметричных семейства: t = ± arccos a + 2πk.

Слагаемое 2πk возникает из периодичности косинуса: cos(t + 2π) = cos t. Прибавление 2π означает полный оборот на единичной окружности и не меняет координату точки. Поскольку полный оборот можно сделать любое целое число раз в обе стороны, k принимает все значения из Z.

Граничные значения требуют отдельного взгляда. При a = 1 симметричные ветви совпадают в точках t = 2πk, а при a = −1 они совпадают в точках t = π + 2πk. Если же a < −1 или a > 1, горизонтальная прямая не пересекает график косинуса, поэтому корней нет.

Решение уравнения cos t = a

Таблица помогает выбрать формулу после проверки значения a. В общем случае используют знак ± и период 2π, а на границах получают более короткие записи. Последняя строка напоминает, в каком промежутке находится само основное значение арккосинуса.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение cos t = √3/2.

Правая часть лежит внутри отрезка [−1; 1], поэтому решения существуют. Нужно найти основное значение арккосинуса, а затем учесть симметрию и периодичность косинуса.

1. Находим arccos(√3/2) = π/6, так как cos(π/6) = √3/2.
2. Подставляем значение в общую формулу: t = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: t = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Задача 2. Решить уравнение cos(2t − π/3) = −1/2.

Сложное выражение 2t − π/3 удобно временно обозначить буквой x. Сначала решаем простое уравнение для x, а затем возвращаемся к переменной t.

1. Пусть x = 2t − π/3. Тогда cos x = −1/2, откуда x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
2. Для первой ветви: 2t − π/3 = 2π/3 + 2πk, поэтому 2t = π + 2πk и t = π/2 + πk.
3. Для второй ветви: 2t − π/3 = −2π/3 + 2πk, поэтому 2t = −π/3 + 2πk и t = −π/6 + πk.

Ответ: t = π/2 + πk или t = −π/6 + πk, k ∈ Z.

Задача 3. Решить уравнение cos(3t − π/4) = 1/2 на отрезке [0; 2π].

Сначала найдём все решения без ограничения, затем проверим, какие из них попадают в заданный отрезок. Основное значение arccos(1/2) равно π/3, поэтому возникают две ветви.

1. Записываем: 3t − π/4 = ±π/3 + 2πk.
2. Первая ветвь даёт 3t = 7π/12 + 2πk, то есть t = 7π/36 + 2πk/3. На [0; 2π] подходят k = 0, 1, 2: t = 7π/36, 31π/36, 55π/36.
3. Вторая ветвь даёт 3t = −π/12 + 2πk, то есть t = −π/36 + 2πk/3. На заданном отрезке подходят k = 1, 2, 3: t = 23π/36, 47π/36, 71π/36.

Ответ: t = 7π/36, 23π/36, 31π/36, 47π/36, 55π/36, 71π/36.

Типичные ошибки

Записывают только t = arccos a и теряют вторую ветвь. Так происходит, если путают основное значение с общим решением и не учитывают симметрию косинуса. Проверяйте себя формулой cos(−t) = cos t: она показывает необходимость знака ±.

Используют формулу с 2πk без знака ±. Периодичность учитывает повторение одного угла, но не отражает вторую симметричную точку. Сначала найдите arccos a, затем отдельно запишите обе ветви.

Пытаются вычислить arccos a при a < −1 или a > 1. Причина ошибки — забытая область значений косинуса. Перед вычислениями сравните правую часть с границами −1 и 1.

Неправильно преобразуют аргумент cos(kt + b). Иногда находят решения для всего аргумента, но забывают раскрыть обе ветви или разделить уравнение на коэффициент k. В конце подставьте найденные значения в исходное уравнение и проверьте знак и коэффициент.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны единичная окружность, значения и свойства косинуса, его период 2π и симметрия относительно оси Oy. Они объясняют, почему появляются повторяющиеся и противоположные углы.

Также необходимо уверенно работать с радианной мерой угла, обозначениями ± и 2πk. При преобразовании cos(kt + b) приходится решать линейные уравнения и делить обе части на коэффициент при t.

Навык пригодится при решении других тригонометрических уравнений, изучении арксинуса и арктангенса. Позже он поможет понять, как строятся обратные функции и почему для них выбирают специальные промежутки определения.

Что запомнить

• Область значений косинуса — отрезок [−1; 1].
• Арккосинус a существует только при −1 ≤ a ≤ 1.
• arccos a — единственное число из [0; π].
• Основная формула: t = ± arccos a + 2πk, k ∈ Z.
• При a = 1 решения имеют вид t = 2πk.
• При a = −1 решения имеют вид t = π + 2πk.
• При |a| > 1 уравнение cos t = a решений не имеет.