3. Решение уравнений вида tg t = т. Арктангенс

Определения и обозначения

Уравнение tg t = m содержит заданное действительное число m, а найти нужно все допустимые значения t. Допустимыми называют только те значения, при которых тангенс существует. Это обозначение удобно использовать как исходную форму для общего правила решения.

Арктангенс числа m — число arctg m из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен m. Иными словами, arctg m отвечает на вопрос: какой угол из указанного интервала имеет тангенс m? Такое число существует для любого действительного m.

Главное значение арктангенса — единственное число arctg m на интервале (−π/2; π/2). Слово «главное» нужно потому, что один и тот же тангенс получается у бесконечного множества углов. Для записи всех решений сначала выбирают именно это значение.

Общий вид решений уравнения tg t = m записывают так: t = arctg m + πk, где k ∈ Z. Целое число k перебирает все углы, отличающиеся от главного на целое число периодов. Поэтому одна формула сразу описывает бесконечное множество корней.

Как это устроено

Тангенс определяется как отношение tg t = sin t / cos t. Деление невозможно, если cos t = 0, а это происходит при t = π/2 + πk, k ∈ Z. Поэтому такие значения не могут быть решениями: в них левая часть уравнения просто не существует.

Период тангенса равен π, потому что при увеличении аргумента на π синус и косинус одновременно меняют знак: sin(t + π) = −sin t и cos(t + π) = −cos t. В частном эти два минуса сокращаются, и получается tg(t + π) = tg t. Прибавление 2π тоже сохраняет тангенс, но это не наименьший положительный период.

На интервале (−π/2; π/2) тангенс непрерывен и строго возрастает. При приближении к левой границе его значения неограниченно уменьшаются, а при приближении к правой — неограниченно увеличиваются. Значит, каждый действительный уровень m пересекается графиком ровно один раз, и этому пересечению соответствует число arctg m.

Если tg t = m, то главное решение находят на промежутке (−π/2; π/2): t = arctg m. Это следует непосредственно из определения арктангенса. Например, поскольку tg(π/4) = 1, имеем arctg 1 = π/4.

Остальные решения получают прибавлением целого числа периодов: t = arctg m + πk. Формула содержит πk, а не 2πk, потому что тангенс повторяется уже через π. Каждое целое k даёт новый допустимый угол, и других решений нет, поскольку на каждом промежутке длины π функция возрастает от −∞ до +∞.

Тангенс и решение уравнения tg t = m

Таблица помогает отделить свойства самой функции от правил решения уравнения. Сначала проверьте область определения и найдите главное значение на интервале (−π/2; π/2), затем добавьте πk. Если задан промежуток для переменной, общую формулу используют для отбора подходящих целых k.

Разбор задач

1. Решить уравнение tg t = 1

Правая часть равна 1, поэтому нужно найти угол, тангенс которого равен единице. На главном промежутке таким углом является π/4. После этого учитываем все периоды тангенса.

1. Находим главное значение: arctg 1 = π/4.
2. Записываем общий вид решений: t = π/4 + πk, k ∈ Z.
3. Проверяем область определения: эти значения не имеют вид π/2 + πk.

Ответ: t = π/4 + πk, k ∈ Z.

2. Решить уравнение tg(2x − π/3) = √3

Неизвестная находится внутри аргумента тангенса, поэтому сначала решаем уравнение относительно всего выражения 2x − π/3. Главное значение для √3 равно π/3, так как tg(π/3) = √3. Затем раскрываем скобки и находим x.

1. Записываем общий вид для аргумента: 2x − π/3 = π/3 + πk, k ∈ Z.
2. Прибавляем π/3 к обеим частям: 2x = 2π/3 + πk.
3. Делим на 2: x = π/3 + πk/2, k ∈ Z.

Ответ: x = π/3 + πk/2, k ∈ Z.

3. Найти решения tg(3x + π/6) = −1 на отрезке [0; 2π]

Сначала получим бесконечную последовательность решений, а затем оставим только те, которые попадают в заданный отрезок. Главное значение arctg(−1) равно −π/4. Отбор по k необходим, потому что общая формула содержит все действительные решения.

1. Приравниваем аргумент: 3x + π/6 = −π/4 + πk.
2. Вычитаем π/6: 3x = −5π/12 + πk.
3. Делим на 3: x = −5π/36 + πk/3.
4. Требуем 0 ≤ −5π/36 + πk/3 ≤ 2π, откуда 5/12 ≤ k ≤ 77/12. Подходят k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: x ∈ {7π/36; 19π/36; 31π/36; 43π/36; 55π/36; 67π/36}.

Типичные ошибки

Запись t = arctg m как единственного ответа ошибочна, потому что тангенс периодичен. Так поступают, когда учитывают только главное значение. Проверка проста: к найденному углу нужно прибавить π и убедиться, что тангенс не изменился.

Формула t = arctg m + 2πk использует период синуса, а не тангенса. Она пропускает решения, отличающиеся от первого на π. Сверяйте шаг между корнями с равенством tg(t + π) = tg t.

Арктангенс m не равен 1/tg x. Первый объект возвращает угол по известному значению тангенса, а второе выражение является обратной величиной. Чтобы не путаться, проверьте: tg(arctg m) = m.

Нельзя принимать значения t = π/2 + πk, поскольку там cos t = 0 и тангенс не определён. Ошибка возникает при механической подстановке без проверки области определения. Подставьте подозрительное значение в формулу tg t = sin t/cos t и проверьте знаменатель.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны единичная окружность, значения синуса и косинуса, определение тангенса и его периодичность. Эти знания объясняют область определения и помогают находить табличные значения арктангенса.

Правило используется при решении тригонометрических уравнений и неравенств, а также при изучении обратных тригонометрических функций. Арктангенс помогает находить угол по заданному отношению катетов и встречается в математическом анализе.

Что запомнить

• tg t = sin t/cos t, поэтому cos t не должен быть равен нулю.
• Период тангенса равен π.
• Функция y = tg x строго возрастает на каждом промежутке (−π/2 + πk; π/2 + πk).
• arctg m — единственное число из (−π/2; π/2), тангенс которого равен m.
• Общее решение уравнения tg t = m: t = arctg m + πk.
• В формуле общего решения k принимает все целые значения.
• При сложном аргументе сначала находят общий вид значений этого аргумента, затем выражают неизвестную.