"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Тригонометрическое уравнение содержит неизвестное под знаком sin, cos, tg или ctg. Его решение — значение аргумента, при котором равенство становится верным. Основная задача состоит в том, чтобы преобразовать уравнение к известному виду и записать все решения с учётом периодичности функций. Для этого используют элементарные формулы, разложение на множители, деление однородного уравнения и метод вспомогательного угла.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Его решением называют такое значение аргумента, при подстановке которого получается верное равенство. Нужно находить не один удобный угол, а все значения x, обычно с помощью целого параметра k.
Элементарное тригонометрическое уравнение имеет вид sin x = a, cos x = a, tg x = a или ctg x = a. Для него существуют стандартные формулы общего решения, основанные на единичной окружности и периодах функций. Сведение сложного уравнения к одному из этих видов делает решение последовательным.
Однородное тригонометрическое уравнение содержит слагаемые одной степени относительно sin x и cos x. Например, 2sin²x + 3sin x cos x − cos²x = 0 — однородное уравнение второй степени. Его можно свести к уравнению относительно tg x или ctg x, но перед делением нужно проверить нулевые значения синуса или косинуса.
Равносильные преобразования не изменяют множество решений уравнения. К ним относятся, например, перенос слагаемых и разложение на множители с последующим рассмотрением каждого множителя. Деление на выражение, возведение в квадрат или применение обратной функции требуют дополнительной проверки, потому что могут потеряться решения или появиться посторонние корни.
Решение обычно начинают с преобразований, которые сохраняют равносильность, а затем стремятся получить элементарное уравнение. Такой порядок нужен потому, что для стандартных видов уже известны все серии корней. После каждой замены проверяют ограничения на область определения и возвращаются к исходной переменной.
В уравнениях sin x = a и cos x = a в одном периоде обычно находятся два угла с одинаковым значением функции: окружность пересекается с соответствующей горизонтальной или вертикальной линией в двух точках. Поэтому появляются две серии решений с периодом 2π. Для tg x = a и ctg x = a достаточно одной серии, поскольку эти функции повторяются уже через π.
Если левая часть является произведением, используют правило: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому каждый множитель превращают в отдельное более простое уравнение. Полученные множества решений объединяют, а не пересекают.
В однородном уравнении деление на sin²x или cos²x позволяет заменить отношения sin x/cos x или cos x/sin x тангенсом или котангенсом. Но нулевой делитель предварительно рассматривают отдельно: иначе допустимое решение исчезнет во время преобразования. После этого оставшееся уравнение решают как обычное алгебраическое.
Уравнение a sin x + b cos x = c удобно преобразовать методом вспомогательного угла. Числа a и b рассматривают как координаты, поэтому их длина R = √(a² + b²), а выражение представляют как R sin(x + φ) или R cos(x − φ). Если такая форма не получается удобно, применяют t = tg(x/2), выражая sin x и cos x через t и получая алгебраическое уравнение.
| Метод | Исходный вид уравнения | Основной приём | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Сведение к элементарному уравнению | Выражение с одной тригонометрической функцией | Преобразовать к sin x = a, cos x = a, tg x = a или ctg x = a | Допустимость a и период общего решения |
| Разложение на множители | Произведение тригонометрических выражений | Приравнять к нулю каждый множитель | Совокупность решений и область определения |
| Однородное уравнение | Сумма одинаковых степеней sin x и cos x | Проверить нулевые случаи и разделить на степень sin x или cos x | Не потеряны ли корни при делении |
| Метод вспомогательного угла | a sin x + b cos x = c | Представить левую часть как R sin(x + φ) или R cos(x − φ) | R = √(a² + b²) и существование решений |
| Универсальная подстановка | Сложное рациональное выражение через sin x и cos x | Положить t = tg(x/2) | Отдельно проверить x = π + 2πk |
Сначала определите структуру уравнения, а затем выбирайте строку, которая ей соответствует. Если подходят несколько методов, предпочтителен тот, который даёт меньше ограничений и преобразований. В конце полезно подставить найденные серии в исходное равенство.
Это элементарное уравнение, поэтому достаточно определить углы на единичной окружности и учесть период синуса. Значение √3/2 синус принимает в первой и второй четвертях. Запишем обе серии, чтобы не потерять решения.
Ответ: x = π/3 + 2πk или x = 2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
Здесь встречается только sin x, поэтому его можно временно считать переменной y. Получится квадратное уравнение, но найденные значения y допустимы лишь в промежутке [−1; 1]. После этого для каждого значения решаем элементарное тригонометрическое уравнение.
Ответ: x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk или x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
Коэффициенты при синусе и косинусе образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой 5, поскольку √(3² + 4²) = 5. Выберем угол φ так, чтобы cos φ = 3/5 и sin φ = 4/5. Тогда левая часть станет одним синусом, после чего используется стандартная формула.
Ответ: x = (arcsin(2/5) − φ)/2 + πk или x = (π − arcsin(2/5) − φ)/2 + πk, где cos φ = 3/5, sin φ = 4/5, k ∈ Z.
Период тангенса или котангенса иногда записывают равным 2π. Так происходит, когда без проверки переносят период синуса и косинуса. Проверьте формулу tg(x + π) = tg x и используйте πk.
При делении однородного уравнения на sin x или cos x забывают нулевой случай. Ошибка возникает потому, что деление кажется обычным сокращением, хотя делитель может быть равен нулю. До деления подставьте sin x = 0 или cos x = 0 в исходное уравнение.
После замены sin x или cos x переменной принимают любой корень квадратного уравнения. Но синус и косинус не могут быть меньше −1 или больше 1. Отбросьте значения вне [−1; 1] и только затем возвращайтесь к x.
При разложении произведения на множители объединяют решения через «и», хотя нужно «или». Каждый множитель равен нулю независимо от остальных, поэтому берётся совокупность решений. Подставьте найденные корни в исходное уравнение и проверьте их по очереди.
Для решения нужны единичная окружность, значения основных тригонометрических функций, их области определения и периоды. Также понадобятся формулы приведения, основные тождества и разложение многочлена на множители. Эти методы применяются дальше при решении тригонометрических неравенств, исследовании функций и задачах математического анализа.
Почему у тангенса период π, а не 2π?
Потому что tg(x + π) = tg x: при добавлении π и синус, и косинус меняют знак, а их отношение остаётся прежним. Поэтому достаточно добавлять к одному решению числа πk, где k ∈ Z.
Как понять, какой метод решения выбрать?
Сначала приведите уравнение к более простому виду и посмотрите на его структуру. Многочлен от sin x или cos x решают заменой, произведение — разложением на множители, одинаковые степени синуса и косинуса — делением, а линейную комбинацию a sin x + b cos x — вспомогательным углом.
Почему при делении на sin x или cos x можно потерять корни?
Деление допустимо только на ненулевое выражение. Если sin x или cos x равны нулю, такие значения могут быть решениями исходного уравнения, но после деления они исчезнут; поэтому эти случаи проверяют заранее.
Как записать общее решение уравнения sin x = a?
Сначала нужно проверить условие |a| ≤ 1. Если α — угол, для которого sin α = a, то x = α + 2πk или x = π − α + 2πk, k ∈ Z.
Когда следует применять универсальную подстановку t = tg(x/2)?
Её используют, когда обычные преобразования не приводят уравнение к удобному виду, особенно при наличии разных степеней sin x и cos x. Подстановка выражает sin x и cos x через t и превращает уравнение в алгебраическое, но отдельно нужно проверить значения x = π + 2πk.
4. Основные методы решения тригонометрических уравнений
