"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Композиция функций возникает, когда одна функция применяется к результату другой: y = f(g(x)). Чтобы найти её производную, используют правило цепочки: сначала дифференцируют внешнюю функцию, оставляя внутри всю внутреннюю, затем умножают результат на производную внутренней функции. Этот приём позволяет уверенно находить производные степеней, корней, логарифмов, тригонометрических выражений и многоуровневых функций.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Композиция функций — функция вида y = f(g(x)), полученная последовательным применением двух функций. Сначала находят значение g(x), затем подставляют его в f. Такое обозначение нужно, чтобы описывать сложные выражения как последовательность простых действий.
Внутренняя функция — функция g(x), значение которой вычисляют первой в композиции y = f(g(x)). Она задаёт промежуточный результат, поступающий дальше. Выделение внутренней функции помогает понять, производную какого выражения нужно добавить в конец решения.
Внешняя функция — функция f(u), применяемая к результату внутренней функции. Буква u здесь обозначает пока не конкретное число, а вход внешней функции. Такая запись позволяет временно отделить форму внешнего действия от выражения, стоящего внутри.
Производная композиции функций — производная сложной функции, равная произведению производной внешней функции и производной внутренней функции. Формула имеет вид (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Она показывает, как изменение x проходит через оба уровня функции.
Пусть имеются функции g и f. Для каждого допустимого x сначала получают число g(x), а затем применяют к нему f, поэтому получается f(g(x)). Порядок здесь существенен: f(g(x)) и g(f(x)) обычно дают разные результаты, поскольку меняется последовательность действий и области допустимых значений.
Если x получил небольшое приращение Δx, то внутренняя функция изменилась примерно на g′(x)·Δx. Внешняя функция реагирует уже не непосредственно на Δx, а на это приращение значения g(x). Поэтому её изменение примерно равно f′(g(x))·(g′(x)·Δx), и коэффициент при Δx становится произведением двух производных.
Отсюда получают правило дифференцирования композиции: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Сначала берут производную внешней функции по её аргументу, но вместо аргумента оставляют всю внутреннюю функцию. Затем умножают результат на производную внутренней функции.
Удобно ввести промежуточную переменную u = g(x). Тогда сложная запись распадается на y = f(u), u = g(x). После нахождения производной внешнего действия возвращаются к x и подставляют u = g(x), чтобы получить ответ только через исходную переменную.
На практике действуют по шагам: находят внешнюю и внутреннюю функции, дифференцируют каждую, подставляют внутреннее выражение во внешнюю производную и перемножают результаты. Если уровней несколько, этот алгоритм повторяют для каждого вложения. Так, в ln(sin(x² + 1)) последовательно проходят уровни логарифма, синуса и многочлена.
В таблице внутреннее выражение обозначено через u, а внешняя функция записана как f(u). Для получения производной нужно взять производную последнего столбца внешнего действия и умножить её на u′. Такой способ особенно удобен, когда выражение содержит степень, корень, логарифм или тригонометрическую функцию.
| Сложная функция y | Внутренняя функция u | Внешняя функция f(u) | Производная y′ |
|---|---|---|---|
| y = sin(3x) | u = 3x | f(u) = sin(u) | y′ = 3cos(3x) |
| y = (x² + 1)⁵ | u = x² + 1 | f(u) = u⁵ | y′ = 10x(x² + 1)⁴ |
| y = ln(sin(x)) | u = sin(x) | f(u) = ln(u) | y′ = cos(x)/sin(x) |
| y = √(1 + x²) | u = 1 + x² | f(u) = √u | y′ = x/√(1 + x²) |
| y = cos(2x³ − 1) | u = 2x³ − 1 | f(u) = cos(u) | y′ = −6x²sin(2x³ − 1) |
Внешним действием является синус, а выражение 5x − 2 играет роль внутренней функции. Поэтому недостаточно записать только cos(5x − 2): нужно учесть скорость изменения внутреннего выражения.
Ответ: y′ = 5cos(5x − 2).
Здесь внешняя функция возводит аргумент в четвёртую степень, а внутренней является многочлен x² − 3x + 1. Сначала дифференцируем степень, сохраняя внутреннее выражение, затем умножаем на производную многочлена.
Ответ: y′ = 4(2x − 3)(x² − 3x + 1)³.
В выражении три уровня вложенности: логарифм, синус и многочлен. Поэтому правило цепочки применяется трижды, а все полученные множители сохраняются.
Ответ: y′ = 2xcos(x² + 1)/sin(x² + 1); y′(0) = 0.
Забывают производную внутренней функции. Тогда для sin(5x − 2) ошибочно получают только cos(5x − 2). Проверьте, выделена ли внутренняя функция и появился ли множитель её производной.
Неправильно подставляют внутреннюю функцию. Запись f′(x) вместо f′(g(x)) означает, что внутреннее выражение потеряно. После дифференцирования внешней функции убедитесь, что её аргументом остаётся вся функция g(x).
Путают порядок композиции. Из f(g(x)) нельзя без проверки перейти к g(f(x)), потому что последовательность действий меняется. Полезно проговорить вычисление: сначала внутреннее выражение, потом внешнее.
Пропускают уровень при нескольких вложениях. В сложной записи ученик может учесть логарифм и забыть производную синуса или многочлена. Разделите выражение на уровни и выпишите отдельный множитель для каждого из них.
Для правила цепочки нужны определение производной, таблица производных элементарных функций, а также правила для суммы и произведения. Полученный приём используют при исследовании функций, построении касательных и поиске экстремумов сложных выражений. Он необходим при дифференцировании показательных, логарифмических, тригонометрических и обратных функций. При этом область определения производной должна учитывать ограничения всех входящих функций.
Как понять, какая функция является внешней, а какая внутренней?
Внутреннюю функцию вычисляют первой: это g(x) внутри скобок или другого выражения. Внешняя функция действует на полученный результат, например в y = sin(x²) внутренней является x², а внешней — sin(u).
Почему в формуле производной композиции нужно умножать на производную внутренней функции?
Изменение x сначала вызывает изменение внутреннего значения g(x), а оно затем изменяет результат внешней функции. Поэтому скорость общего изменения складывается из двух скоростей и выражается их произведением.
Можно ли применять правило цепочки несколько раз подряд?
Да. Если функция содержит несколько вложенных уровней, правило применяют последовательно к каждому из них. Например, для ln(sin(x² + 1)) перемножаются производные логарифма, синуса и выражения x² + 1.
Чем дифференцирование композиции отличается от дифференцирования произведения функций?
Для композиции используют правило цепочки: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Для произведения действует другое правило: (uv)′ = u′v + uv′, поэтому заменять одно правило другим нельзя.
Как проверить, не пропущена ли производная внутренней функции?
После дифференцирования отдельно назовите внутреннюю функцию и найдите её производную. Если этот множитель не появился в ответе, правило цепочки применено не полностью.
3. Дифференцирование композиции функций
