2. Производные тригонометрических функций

Определения и обозначения

Производная функции — предел отношения приращения функции к приращению аргумента: f′(x) = lim Δx→0 Δf/Δx. Она показывает мгновенную скорость изменения функции и задаёт наклон касательной к графику. С её помощью можно понять, возрастает ли функция и насколько быстро меняется её значение.

Дифференцирование — нахождение производной функции по известным правилам. Например, при дифференцировании суммы производные слагаемых складывают, а постоянный множитель выносят за знак производной. Такие правила превращают вычисление предела в последовательную работу с формулой.

Производная синуса и косинуса — правила, определяющие результат дифференцирования функций sin x и cos x: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x. Они позволяют находить производные выражений с этими функциями без повторного обращения к пределу. Знак минус у косинуса нужно запоминать отдельно.

Производная тангенса и котангенса выражается через квадраты косинуса и синуса: (tg x)′ = 1/cos² x, (ctg x)′ = −1/sin² x. Эти формулы применимы только там, где исходные функции определены. Поэтому вместе с формулой всегда проверяют допустимые значения x.

Как это устроено

Для синуса используем формулу сложения: sin(x + h) = sin x cos h + cos x sin h. В разности sin(x + h) − sin x после деления на h появляются выражения (cos h − 1)/h и sin h/h. При h, стремящемся к нулю, они имеют пределы 0 и 1, поэтому (sin x)′ = cos x. Равенство sin h/h → 1 справедливо именно при измерении угла в радианах.

Для косинуса формула сложения даёт cos(x + h) = cos x cos h − sin x sin h. В приращении косинуса член с cos x снова стремится к нулю, но член с sin h имеет знак минус. Поэтому предел равен −sin x: функция косинуса убывает там, где синус положителен, что и объясняет знак в формуле.

Тангенс представим как tg x = sin x/cos x и применим правило производной частного. Получается (cos x · cos x − sin x · (−sin x))/cos² x = (cos² x + sin² x)/cos² x. Основное тождество sin² x + cos² x = 1 даёт (tg x)′ = 1/cos² x. Аналогично ctg x = cos x/sin x, поэтому (ctg x)′ = (−sin² x − cos² x)/sin² x = −1/sin² x.

Если вместо x стоит выражение u(x), функция становится сложной: например, sin u(x) состоит из внешнего синуса и внутреннего аргумента u. Изменение всей функции зависит и от того, как меняется синус по своему аргументу, и от скорости изменения самого u. Поэтому по правилу цепочки (sin u)′ = cos u · u′, а (tg u)′ = u′/cos²u. Формулы применяют на промежутках области определения: tg x исключает точки π/2 + πk, а ctg x — точки πk.

Производные основных тригонометрических функций

Сначала найдите в таблице внешний вид функции, затем проверьте область определения. Если аргумент функции не равен x, используйте правило цепочки и умножьте табличную производную на производную аргумента. Для суммы, произведения или частного сначала выберите соответствующее общее правило, а затем подставьте табличные формулы.

Разбор задач

Задача 1. Найти производную функции y = 3sin x − 2cos x. Здесь используются сумма и постоянные множители, поэтому каждое слагаемое можно дифференцировать отдельно. Знак перед вторым слагаемым сохраняется при вычислении.

1. Применяем линейность: y′ = 3(sin x)′ − 2(cos x)′.
2. Подставляем формулы: y′ = 3cos x − 2(−sin x).
3. Убираем двойной знак: y′ = 3cos x + 2sin x.

Ответ: y′ = 3cos x + 2sin x.

Задача 2. Найти производную функции y = x²cos x. Это произведение двух функций, поэтому нельзя дифференцировать только один множитель. Обозначим множители и применим правило (uv)′ = u′v + uv′.

1. Пусть u = x², v = cos x; тогда u′ = 2x, v′ = −sin x.
2. Подставляем в правило: y′ = 2x cos x + x²(−sin x).
3. Записываем результат компактно: y′ = 2x cos x − x²sin x.

Ответ: y′ = 2x cos x − x²sin x.

Задача 3. Найти производную функции y = tg(3x − π/4) + ctg(2x). Оба аргумента сложные, поэтому после табличной формулы нужно умножить результат на производную внутреннего выражения. Слагаемые дифференцируем отдельно.

1. Для первого слагаемого u = 3x − π/4, u′ = 3, поэтому (tg u)′ = 3/cos²(3x − π/4).
2. Для второго слагаемого v = 2x, v′ = 2, поэтому (ctg v)′ = −2/sin²(2x).
3. Складываем результаты: y′ = 3/cos²(3x − π/4) − 2/sin²(2x).

Ответ: y′ = 3/cos²(3x − π/4) − 2/sin²(2x).

Типичные ошибки

Забывают знак минус у производной косинуса. Ошибка появляется из-за сходства двух формул: у синуса результат положительный, у косинуса — отрицательный. Проверяйте себя по точке x = 0: косинус там убывает, значит его производная равна −sin 0 = 0 и рядом меняется с отрицательным знаком.

Записывают производную tg x как 1/tg² x. Тангенс получают делением синуса на косинус, поэтому в знаменателе результата возникает cos² x, а не tg² x. Проверка через правило частного сразу приводит к формуле 1/cos² x.

Не умножают на производную внутреннего выражения. Так часто делают в sin(5x) или tg(2x − 1), оставляя только внешнюю производную. Выделите внутренний аргумент отдельно и обязательно найдите его производную.

Применяют формулу в точке, где функция не определена. Например, tg x не существует при x = π/2 + πk, поэтому нельзя считать значение её производной в такой точке. Сначала выпишите область определения исходной функции, а уже затем дифференцируйте.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение производной и правила для суммы, произведения, частного и сложной функции. Также понадобятся тригонометрические тождества, формулы сложения и радианная мера углов. Производные применяются при исследовании функций, решении задач на скорость изменения и изучении дифференциальных уравнений.

Что запомнить

• (sin x)′ = cos x.
• (cos x)′ = −sin x.
• (tg x)′ = 1/cos² x.
• (ctg x)′ = −1/sin² x.
• Для сложной функции дополнительно умножают на производную внутреннего выражения.
• Формулы производных тригонометрических функций записываются для углов, измеренных в радианах.