1. Предел отношения длины хорды к длине стягиваемой ею дуги

Определения и обозначения

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Её длина зависит от того, где расположены концы: близкие точки дают короткую хорду, а удалённые — более длинную. Обозначим длину хорды буквой c, чтобы сравнивать её с дугой.

Стягиваемая дуга — часть окружности между концами хорды. Обычно выбирают меньшую дугу; ей соответствует меньший центральный угол. Такое уточнение нужно, потому что две точки окружности определяют две дуги и два угла.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности, опирающийся на рассматриваемую дугу. Обозначим его α, а радиус окружности — R. Через этот угол удобно выражать и длину дуги, и длину хорды.

Предел отношения длины хорды к длине дуги — число, к которому приближается дробь c⁄l, когда дуга стягивается к одной точке. При этом её концы сближаются, а α стремится к нулю. Предел показывает, насколько близкими становятся две длины на малом участке окружности.

Как это устроено

Когда концы хорды приближаются друг к другу, хорда и дуга одновременно становятся короче и стремятся к нулю. Поэтому их разность сама по себе мало что говорит: обе величины исчезают. Сравнить их можно с помощью отношения c⁄l, которое показывает, какую долю длины дуги составляет хорда.

Пусть радиус окружности равен R, а угол α измерен в радианах. Полная окружность имеет длину 2πR, поэтому дуга, соответствующая углу α, имеет длину l = Rα. Радианная мера важна именно потому, что при ней длина дуги прямо пропорциональна углу без дополнительного множителя.

Чтобы получить длину хорды, соединим центр с концами хорды и проведём из центра перпендикуляр к хорде. Он делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных, а угол при центре — на два угла α⁄2. Поэтому половина хорды равна R sin(α⁄2), и c = 2R sin(α⁄2).

Подставим найденные выражения в отношение: c⁄l = 2R sin(α⁄2)⁄Rα = 2sin(α⁄2)⁄α. Радиус сокращается, потому что изменение масштаба окружности одинаково увеличивает и хорду, и дугу. Значит, результат зависит только от угла, а не от размера окружности.

Сделаем замену t = α⁄2. Тогда 2sin(α⁄2)⁄α = sin t⁄t, а при α → 0 также t → 0. По основному тригонометрическому пределу sin t⁄t → 1, следовательно, c⁄l → 1. Геометрически это означает, что маленький участок окружности почти не успевает заметно изогнуться.

Хорда, дуга и их отношение при стягивании дуги

Сначала найдите в таблице угол и радиус, затем используйте формулы для дуги и хорды. Для предела смотрите не на отдельные длины, а на строку с их отношением.

Если угол дан не в радианах, его нужно перевести до применения формулы l = Rα. Таблица также показывает, почему радиус не влияет на итоговое отношение.

Разбор задач

Задача 1

В окружности радиуса R хорда стягивает центральный угол π⁄3. Требуется найти отношение длины хорды к длине соответствующей дуги. Радиус искать отдельно не нужно, поскольку он входит в обе длины одинаковым множителем.

1. Длина дуги равна l = Rπ⁄3.
2. Длина хорды равна c = 2R sin(π⁄6) = 2R · ½ = R.
3. Делим длину хорды на длину дуги: c⁄l = R⁄(Rπ⁄3) = 3⁄π.

Ответ: 3⁄π. Приближённо это 0,955, поэтому хорда немного короче соответствующей дуги.

Задача 2

Докажем, что при α → 0 отношение длины хорды к длине дуги стремится к 1. Нужно выразить обе длины через один и тот же угол, а затем применить известный тригонометрический предел.

1. Записываем отношение: c⁄l = 2R sin(α⁄2)⁄Rα = 2sin(α⁄2)⁄α.
2. Полагаем t = α⁄2, тогда α = 2t и дробь превращается в sin t⁄t.
3. При α → 0 величина t тоже стремится к нулю, поэтому sin t⁄t → 1.

Следовательно, lim при α → 0 c⁄l = 1. Это и есть искомое доказательство.

Задача 3

Оценим относительную погрешность замены малой дуги её хордой. За точное значение принимаем длину дуги, поэтому потеря длины равна l − c, а относительная погрешность измеряется долей этой потери от l.

1. Получаем ε = (l − c)⁄l = 1 − c⁄l = 1 − 2sin(α⁄2)⁄α.
2. Так как c⁄l → 1, выражение ε стремится к нулю при α → 0.
3. Для очень малого угла используют оценку 1 − 2sin(α⁄2)⁄α ≈ α²⁄24, если α задан в радианах.

Ответ: относительная погрешность равна 1 − 2sin(α⁄2)⁄α и уменьшается до нуля. Чем меньше центральный угол, тем точнее хорда заменяет дугу.

Типичные ошибки

Формулу l = Rα применяют к углу в градусах. Так происходит из-за смешения двух мер угла; проверьте, что α указано в радианах, или сначала переведите градусы в радианы.

Длину хорды записывают как Rα. Это формула дуги, а хорда равна 2R sin(α⁄2); мысленно разделите равнобедренный треугольник пополам и проверьте появление половины угла.

Считают, что отношение двух величин, стремящихся к нулю, равно нулю. На самом деле возникает неопределённость 0⁄0, поэтому нужно преобразовать дробь и найти её предел.

Рассматривают фиксированный угол вместо α → 0. При стягивании дуги концы хорды сближаются, значит, одновременно уменьшается и центральный угол; это условие должно быть явно записано.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны радианная мера угла, формула длины дуги, формула хорды через синус и основной тригонометрический предел. Геометрический результат помогает понять смысл предела и подготавливает изучение производных синуса и косинуса.

Позже отношение хорды и дуги используется в приближённых вычислениях. При переходе к бесконечно малому участку окружности оно связывает дугу с касательной и показывает локальное свойство гладкой кривой.

Что запомнить

• Длина дуги окружности радиуса R с центральным углом α равна Rα, если α измерен в радианах.
• Длина хорды равна 2R sin(α⁄2).
• Отношение длины хорды к длине дуги равно 2sin(α⁄2)⁄α.
• При α → 0 отношение длины хорды к длине дуги стремится к 1.
• На малом участке дуга окружности практически совпадает со своей хордой.
• Радиус окружности сокращается при вычислении отношения хорды к дуге.
• Радианная мера угла необходима для получения предела, равного 1.