§ 4. Дифференцирование тригонометрических функций

Определения и обозначения

Производная синуса — это правило: (sin x)′ = cos x. Оно применимо при любом действительном x, потому что синус определён на всей числовой прямой. Формула показывает, с какой скоростью меняется значение синуса.

Производная косинуса задаётся формулой: (cos x)′ = −sin x. Знак «минус» означает, что изменение косинуса направлено противоположно изменению синуса. Эта формула также верна для всех действительных x.

Производная тангенса имеет вид: (tg x)′ = 1/cos²x. Тангенс определён только там, где cos x ≠ 0, то есть при x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z. Поэтому формулу используют лишь на этих точках.

Производная котангенса равна: (ctg x)′ = −1/sin²x. Котангенс существует при sin x ≠ 0, то есть при x ≠ πk, k ∈ Z. Ограничение нужно проверять до применения формулы.

Как это устроено

Производные тригонометрических функций выводят в радианах, потому что в этой мере длина дуги единичной окружности равна углу. Благодаря этому предел lim h→0 sin h/h равен 1. В градусной мере тот же предел содержал бы множитель π/180, и простые формулы пришлось бы изменять.

Для синуса используют определение производной: (sin x)′ = lim h→0 [sin(x + h) − sin x]/h. Раскрываем синус суммы и выносим постоянные множители: получается cos x · (sin h/h) + sin x · [(cos h − 1)/h]. Первый предел равен 1, второй — 0, поэтому результатом становится cos x.

Чтобы получить производную косинуса, дифференцируют тождество sin²x + cos²x = 1. По правилу цепочки имеем 2sin x · cos x + 2cos x · (cos x)′ = 0. После деления на 2cos x получается (cos x)′ = −sin x, а в точках cos x = 0 результат сохраняется по непрерывности производной.

Тангенс записывают как дробь sin x/cos x и применяют правило производной частного. В числителе возникает cos²x + sin²x, равное 1, а в знаменателе — cos²x. Для котангенса используют дробь cos x/sin x; после упрощения получается −1/sin²x.

Если аргумент функции сложный, применяется правило цепочки: сначала дифференцируют внешнюю тригонометрическую функцию, затем умножают результат на производную внутренней. Поэтому (sin u(x))′ = cos u(x) · u′(x), а (cos u(x))′ = −sin u(x) · u′(x). Аналогично (tg u(x))′ = u′(x)/cos²u(x) и (ctg u(x))′ = −u′(x)/sin²u(x).

Производные основных тригонометрических функций

Таблица подходит для быстрого выбора основной формулы. Если аргумент функции не равен просто x, после применения формулы нужно домножить результат на производную аргумента. Для тангенса и котангенса отдельно проверяют, что исходная функция определена.

Разбор задач

Производная линейной комбинации синуса и косинуса

Условие: найти производную функции y = 3sin x − 2cos x.

1. Производная суммы или разности равна сумме или разности производных, а постоянные множители можно вынести за знак производной.
2. Применяем формулы: y′ = 3(cos x) − 2(−sin x).
3. Учитываем два знака: минус перед 2 умножается на минус из производной косинуса. Получаем y′ = 3cos x + 2sin x.

Ответ: y′ = 3cos x + 2sin x.

Производная тангенса от сложного аргумента

Условие: найти производную функции y = tg(2x − π/3).

1. Внешняя функция — тангенс, а внутренний аргумент u = 2x − π/3.
2. Производная тангенса равна 1/cos²u, а производная аргумента u′ = 2.
3. По правилу цепочки перемножаем результаты: y′ = 2/cos²(2x − π/3). Формула действует там, где cos(2x − π/3) ≠ 0.

Ответ: y′ = 2/cos²(2x − π/3).

Произведение котангенса и степени синуса

Условие: найти производную функции y = x²ctg x + sin³x.

1. Первое слагаемое дифференцируем по правилу произведения: (x²ctg x)′ = 2xctg x + x²(−1/sin²x).
2. Во втором слагаемом внешняя функция — третья степень, а внутренняя — sin x. Поэтому (sin³x)′ = 3sin²x · cos x.
3. Складываем производные слагаемых и учитываем область определения: sin x ≠ 0.

Ответ: y′ = 2xctg x − x²/sin²x + 3sin²x cos x, sin x ≠ 0.

Типичные ошибки

Иногда пишут (sin x)′ = sin x или (cos x)′ = cos x, путая функцию с её производной. Причина — механическое запоминание названий без связи формулы с графиком. Проверьте себя: производная синуса должна быть косинусом, а производная косинуса — отрицательным синусом.

Часто забывают знак «минус» в формулах для косинуса и котангенса. Ошибка появляется при переносе члена в выводе или при раскрытии скобок. Полезно отдельно записывать базовые формулы перед решением и проверять знак в простых точках.

При дифференцировании tg u(x) или sin u(x) иногда не умножают результат на u′(x). Так пропускают внутреннюю функцию и применяют только внешнюю формулу. Проверка проста: выделите аргумент скобками и найдите его производную отдельной строкой.

Формулы тангенса и котангенса применяют в точках, где исходная функция не определена. Это невозможно, потому что деление на ноль запрещено уже в самой функции. Перед вычислением проверьте соответственно cos x ≠ 0 или sin x ≠ 0.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение производной, правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции. Также требуются тригонометрические тождества и уверенное владение радианной мерой угла. Найденные производные применяются при исследовании функций, построении графиков, решении задач на касательные и дальнейшем изучении дифференциальных уравнений.

Что запомнить

• Производная sin x равна cos x.
• Производная cos x равна −sin x.
• Производная tg x равна 1/cos²x.
• Производная ctg x равна −1/sin²x.
• Формулы производных тригонометрических функций записываются при измерении углов в радианах.
• Для сложного аргумента нужно умножать производную внешней функции на производную внутренней.
• Перед применением формулы нужно проверить область определения исходной функции.