§ 89. Тригонометрические уравнения и неравенства

Определения и обозначения

Тригонометрическое уравнение — равенство, в котором неизвестный угол входит в синус, косинус, тангенс или котангенс. Сначала определяют область допустимых значений: например, для tg x нужно исключить x = π/2 + πk. Это помогает не принять за корень число, при котором исходное выражение не существует.

Тригонометрическое неравенство — неравенство, содержащее тригонометрические функции. Его решением обычно является не отдельное число, а множество промежутков, которые повторяются с периодом. Поэтому ответ записывают объединением интервалов с целочисленным параметром.

Общее решение — запись всех корней уравнения через параметр k ∈ Z. Параметр показывает, сколько периодов функции нужно прибавить или вычесть из найденного угла. Такая запись заменяет бесконечный перечень отдельных корней.

Основные тригонометрические уравнения имеют вид sin x = a, cos x = a, tg x = a и ctg x = a. Они служат базой для более сложных задач: преобразования сводят исходное уравнение к одному или нескольким таким видам. Для каждого вида существуют свои формулы и ограничения.

Как это устроено

Периодичность означает, что функция повторяет значения через одинаковый промежуток. Синус и косинус имеют период 2π, а тангенс и котангенс — π, поэтому один найденный угол порождает бесконечную последовательность корней. Именно для её записи используют k ∈ Z: к основному углу прибавляют целое число периодов.

Синус и косинус на единичной окружности являются координатами точки, а координаты не могут быть больше 1 или меньше −1. Поэтому уравнения sin x = a и cos x = a разрешимы только при −1 ≤ a ≤ 1. Тангенс и котангенс — отношения координат, поэтому могут принимать любое действительное значение, хотя у них есть точки, где знаменатель равен нулю.

Решения основных уравнений находят по единичной окружности. Если α = arcsin a, то x = α + 2πk или x = π − α + 2πk; если α = arccos a, то x = ±α + 2πk. Для тангенса получают x = arctg a + πk, а для котангенса — x = arcctg a + πk, причём значения, где функция не определена, не добавляют.

Сложное уравнение сначала упрощают: раскрывают скобки, применяют тождества и формулы приведения, переносят всё в одну часть. Если произведение равно нулю, каждый множитель приравнивают к нулю; если появляются только sin x или cos x, вводят замену t. Неравенства решают по окружности или графику: находят точки равенства, выбирают нужные дуги или участки и отдельно проверяют, включаются ли их концы.

Основные тригонометрические уравнения и способы их решения

Таблица помогает быстро выбрать формулу или метод. В задачах с промежутком общий ответ нужно пересечь с этим промежутком, а в сложных выражениях проверить корни в исходном уравнении.

Разбор задач

1. Уравнение 2sin x − 1 = 0

Нужно получить основное уравнение и не потерять периодичность синуса. После этого достаточно воспользоваться значениями на единичной окружности.

1. Перенесём 1 и разделим на 2: sin x = ½.
2. Синус равен ½ при углах π/6 и 5π/6 в одном периоде. Поэтому все решения имеют вид x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.
3. Ограничений на x в исходном уравнении нет, поскольку синус определён при любых действительных x.

Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

2. Уравнение 2cos² x − 3cos x + 1 = 0

Здесь встречается только cos x, поэтому выражение можно рассматривать как квадратный трёхчлен. Замена временно превращает тригонометрическое уравнение в обычное алгебраическое.

1. Положим t = cos x. Получим 2t² − 3t + 1 = 0.
2. Разложим на множители: (2t − 1)(t − 1) = 0. Отсюда t = ½ или t = 1, и оба значения допустимы, потому что принадлежат [−1; 1].
3. Возвращаемся к x. При cos x = ½ имеем x = ±π/3 + 2πk, а при cos x = 1 получаем x = 2πk, где k ∈ Z.

Ответ: x = ±π/3 + 2πk или x = 2πk, k ∈ Z.

3. Неравенство sin 2x > ½ на [−π; π]

Сначала решим неравенство для аргумента 2x, а затем вернёмся к x. Строгий знак > означает, что точки равенства в ответ не входят.

1. На одном периоде sin y > ½ при y ∈ (π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk), где y = 2x.
2. Делим границы на 2: x ∈ (π/12 + πk; 5π/12 + πk).
3. Пересекаем эти интервалы с [−π; π]. При k = −1 получаем (−11π/12; −7π/12), при k = 0 — (π/12; 5π/12). Другие значения k дают интервалы вне заданного промежутка.

Ответ: x ∈ (−11π/12; −7π/12) ∪ (π/12; 5π/12).

Типичные ошибки

Ученик записывает только один корень основного уравнения и забывает о периодичности. Так происходит, когда найденный угол воспринимают как единственный ответ. Проверьте себя: подставьте к корню угол, отличающийся на период, и добавьте параметр k ∈ Z.

Формулу для тангенса или котангенса применяют в точках, где функция не определена. Причина — проверяют только полученное равенство, а не исходную область допустимых значений. Выпишите запрещённые значения x до решения и исключите их из ответа.

При решении неравенства отмечают отдельные точки вместо промежутков или выбирают не ту дугу окружности. Ошибка возникает из-за смешения уравнения с неравенством. Отметьте точки равенства, возьмите пробное значение внутри каждой дуги и проверьте знак исходного выражения.

После замены принимают любое значение t за возможное значение sin x или cos x. Но эти функции принимают только числа из [−1; 1]. Сначала решите алгебраическое уравнение, затем отбросьте недопустимые t и лишь после этого находите x.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны единичная окружность, значения тригонометрических функций, их области определения и периоды. Без них трудно увидеть положение корней и правильно выбрать промежутки.

Преобразование сложных выражений опирается на формулы приведения, основные тождества, разложение на множители и решение квадратных уравнений. Эти навыки позволяют свести задачу к базовым уравнениям.

Тригонометрические уравнения и неравенства используются при исследовании функций, в математическом анализе и моделировании периодических процессов. Они также регулярно встречаются в экзаменационных заданиях.

Что запомнить

• Решение тригонометрического уравнения обычно содержит целочисленный параметр k.
• Для уравнений sin x = a и cos x = a необходимо условие −1 ≤ a ≤ 1.
• Период тангенса и котангенса равен π, а период синуса и косинуса — 2π.
• При решении неравенств нужно находить интервалы, а не только отдельные значения.
• Любая замена переменной должна сопровождаться проверкой допустимых значений.
• В ответе необходимо учитывать ограничения исходного уравнения и заданный промежуток.
• Графический и окружностный способы помогают контролировать правильность аналитического решения.