§ 88. Логарифмические уравнения и неравенства

Определения и обозначения

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент логарифма или является его основанием. Например, в log₂(x − 1) = 3 переменная находится в аргументе. Определение помогает узнать тип задачи и выбрать преобразование, но ещё не гарантирует, что найденные значения допустимы.

Логарифмическое неравенство — неравенство, содержащее логарифм с неизвестным в аргументе или основании. Например, logₐ f(x) > 2 сравнивает значение логарифма с числом. Чтобы решить такую задачу, нужно учитывать и допустимость выражения, и то, возрастает или убывает логарифмическая функция.

ОДЗ логарифмического выражения — множество значений неизвестного, при которых аргумент положителен, а основание положительно и не равно единице. Для logₐ f(x) это условия a > 0, a ≠ 1 и f(x) > 0. ОДЗ отсекает значения, при которых выражение не существует, поэтому её находят до решения.

Равносильные преобразования — действия, сохраняющие множество решений уравнения или неравенства при выполнении необходимых условий. Например, логарифмы с одинаковым допустимым основанием можно приравнять по аргументам. Понимание равносильности помогает отличить безопасный переход от преобразования, после которого корни надо дополнительно проверить.

Как это устроено

Перед решением находят ОДЗ, потому что логарифм определён не для любого числа. Его аргумент обязан быть положительным, а основание должно быть положительным и отличаться от единицы. Если неизвестное входит в аргумент, из этих условий сразу получают ограничения на x. Если переменная стоит в основании, условия на основание тоже становятся ограничениями и могут разделить задачу на случаи.

Равенство logₐ f(x) = logₐ g(x) при допустимом фиксированном основании сводится к f(x) = g(x). Причина в том, что функция y = logₐ t принимает каждое своё значение только при одном положительном t: разные аргументы не могут дать одинаковый результат. Поэтому можно сравнить аргументы, но только когда оба положительны, а основание допустимо.

При сравнении логарифмов важна монотонность функции y = logₐ t. Если a > 1, она возрастает: большему аргументу соответствует большее значение, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется. Если 0 < a < 1, функция убывает, и порядок значений обращается — знак нужно поменять. Именно поэтому основание проверяют до сравнения аргументов.

Логарифмы с разными основаниями нельзя объединять формулой для суммы или разности логарифмов с одинаковым основанием. Иногда удобно воспользоваться свойством logₐ(uv) = logₐ u + logₐ v, заменой переменной или переходом к общему основанию. Каждый такой приём требует условий: аргументы должны быть положительными, а основания — допустимыми. Выбор зависит от того, какая форма выражений превращает задачу в знакомое уравнение или неравенство.

Переход от logₐ f(x) = b к f(x) = aᵇ следует из определения логарифма. Однако при преобразовании исходные ограничения легко потерять: например, уравнение после раскрытия скобок может иметь корень, для которого аргумент логарифма отрицателен. Свойства логарифмов также применяют лишь к положительным аргументам. Поэтому ОДЗ сохраняют на протяжении решения, а найденные значения проверяют в первоначальном условии.

Основные приёмы решения логарифмических уравнений и неравенств

Сначала определите вид задачи и выпишите ограничения ОДЗ, затем выполните соответствующий переход. В неравенствах отдельно проверьте, больше или меньше единицы основание. В конце соотнесите полученные значения или промежуток с ОДЗ и исходным условием.

Разбор задач

Уравнение log₂(x − 1) = 3

1. Сначала потребуем положительности аргумента: x − 1 > 0, поэтому x > 1. Это ограничение проверим после решения.
2. По определению логарифма равенство log₂(x − 1) = 3 означает, что x − 1 = 2³. Основание 2 допустимо: оно положительно и не равно единице.
3. Получаем x − 1 = 8, откуда x = 9. Число 9 удовлетворяет условию x > 1, поэтому оно подходит исходному уравнению.

Ответ: x = 9.

Уравнение log₃(x − 1) + log₃(x + 1) = 1

1. Запишем ОДЗ для обоих логарифмов: x − 1 > 0 и x + 1 > 0. Одновременно эти условия дают x > 1, и этот результат нужно сохранить.
2. Основания одинаковы, поэтому применяем формулу суммы логарифмов: log₃((x − 1)(x + 1)) = 1. Теперь переходим к показательной форме: (x − 1)(x + 1) = 3.
3. Раскрываем скобки и решаем полученное уравнение: x² − 1 = 3, значит x² = 4 и x = −2 или x = 2. Из двух корней условию x > 1 соответствует только x = 2.

Ответ: x = 2.

Неравенство log₍½₎(x + 2) ≥ log₍½₎(3 − x)

1. Оба аргумента должны быть положительными: x + 2 > 0 и 3 − x > 0. Поэтому ОДЗ — промежуток −2 < x < 3.
2. Основание ½ находится между 0 и 1, значит логарифмическая функция убывает. При сравнении аргументов знак неравенства меняется: x + 2 ≤ 3 − x.
3. Решаем линейное неравенство: 2x ≤ 1, то есть x ≤ ½. Пересекаем полученное множество с ОДЗ; подходит промежуток −2 < x ≤ ½.

Ответ: −2 < x ≤ ½.

Типичные ошибки

Сравнивают аргументы логарифмов, не проверив их положительность. Так поступают, потому что сосредотачиваются на знакомом переходе к аргументам и забывают область определения исходной записи. Перед преобразованием выпишите условия на каждый аргумент, а в конце пересеките с ними найденное множество.

При основании между 0 и 1 оставляют знак неравенства без изменения. Ошибка возникает, если помнить только случай возрастающей функции и не учитывать направление изменения логарифма. Проверьте основание: для 0 < a < 1 функция убывает, поэтому при переходе к аргументам знак меняется.

Считают допустимым основание, равное единице, или неположительное основание. Это может произойти, когда в задаче основание зависит от x и ограничения на него не выписаны отдельно. Для любого логарифма проверьте условия a > 0 и a ≠ 1; найденные ограничения включите в ОДЗ.

Оставляют все корни, полученные после преобразований, без проверки. Причина в том, что алгебраическое уравнение может иметь больше решений, чем исходное логарифмическое, если условия потерялись по пути. Подставьте каждый корень в исходное выражение и убедитесь, что он удовлетворяет ОДЗ и самому уравнению.

Связь с другими темами

Для решения логарифмических задач нужны определение логарифма, его свойства и свойства показательной функции: например, переход logₐ u = b к u = aᵇ. Также необходимы навыки решения алгебраических уравнений и неравенств, поскольку после преобразований часто возникают именно они. Эти темы связаны и дальше: логарифмические уравнения и неравенства используют при изучении показательных и логарифмических функций. Они также помогают сравнивать величины, заданные по логарифмической шкале.

Что запомнить

• Для логарифма аргумент должен быть положительным.
• Основание логарифма положительно и не равно единице.
• Одинаковые логарифмы с допустимым общим основанием равны тогда и только тогда, когда равны их аргументы.
• При основании больше единицы логарифмическая функция возрастает.
• При основании от 0 до 1 логарифмическая функция убывает.
• ОДЗ находят до преобразований, а полученные решения проверяют в исходной задаче.