"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Показательные уравнения и неравенства — это задачи, в которых неизвестное находится в показателе степени. Для их решения используют свойства функции y = aˣ: при a > 1 она возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Если основания степеней совпадают, можно сравнивать показатели; выражения с несколькими степенями часто сводят к квадратному уравнению заменой переменной. Знание этих приёмов помогает решать задачи о процентах, росте и распаде.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Показательная функция — функция вида y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1. Её область определения — все действительные числа, а множество значений — положительные числа. Это значит, что в показатель можно подставить любое действительное x, но значение функции никогда не будет нулём или отрицательным. По этой функции распознают основу показательных уравнений и неравенств.
Показательное уравнение — уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени. Например, в уравнении 2ˣ = 8 требуется найти показатель x. Определение подсказывает, почему обычное решение квадратных уравнений здесь не всегда подходит. Для решения используют свойства степеней, монотонность и, при необходимости, логарифмы.
Показательное неравенство — неравенство, в котором неизвестное входит в показатель степени. В нём нужно найти все значения переменной, при которых сравнение степеней верно. Результатом обычно становится промежуток или объединение промежутков. Способ решения зависит от того, растёт или убывает показательная функция.
Монотонность показательной функции означает, что при a > 1 функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Иными словами, в первом случае большему показателю соответствует большее значение степени, а во втором — меньшее. Это свойство позволяет переходить от сравнения степеней к сравнению их показателей. Оно же объясняет, почему в некоторых неравенствах приходится менять направление знака.
Основание показательной функции должно быть положительным, потому что при отрицательном основании степень не определена как действительное число для многих вещественных показателей. Например, отрицательное число нельзя возвести в степень ½ и получить действительное значение. Основание 1 тоже не подходит: тогда 1ˣ = 1 при любом x, и функция становится постоянной. При таком основании нельзя определить показатель по значению функции, поэтому его исключают.
Равенство aˣ = aᵇ при допустимом основании имеет единственное решение x = b. Причина в том, что функция y = aˣ строго монотонна: она либо всё время возрастает, либо всё время убывает. Значит, одному значению функции соответствует только один показатель. Поэтому в равенстве степеней с одинаковым основанием можно приравнять показатели.
Уравнение aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ решают приведением степеней к одному основанию. Например, число 8 можно представить как 2³, после чего равенство 2ˣ⁺¹ = 8 превращается в 2ˣ⁺¹ = 2³. Одинаковое основание позволяет перейти к уравнению f(x) = g(x), которое обычно проще исходного. Если основания разные, приравнивать показатели нельзя: сначала нужно выполнить преобразование.
Если в уравнении встречаются степени a²ˣ и aˣ, удобно обозначить t = aˣ. Тогда a²ˣ = (aˣ)² = t², и уравнение становится квадратным относительно t. Но t не может быть нулём или отрицательным: при a > 0 значение aˣ всегда положительно. Поэтому после решения квадратного уравнения оставляют только корни t > 0, а затем возвращаются к замене и находят x.
Правило для неравенств тоже следует из монотонности. При a > 1 функция возрастает, поэтому сравнение aᶠ⁽ˣ⁾ и aᵍ⁽ˣ⁾ сохраняет направление при переходе к f(x) и g(x). При 0 < a < 1 функция убывает: большему показателю соответствует меньшая степень, поэтому направление знака меняется на противоположное. После этого решают обычное неравенство для показателей.
| Вид задания | Условие на основание | Основной приём | Что проверить в ответе |
|---|---|---|---|
| aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ | a > 0, a ≠ 1 | Приравнять показатели f(x) и g(x) | ОДЗ и равносильность преобразований |
| aᶠ⁽ˣ⁾ = b | a > 0, a ≠ 1, b > 0 | Представить b как степень с основанием a или применить логарифм | Положительность правой части |
| a²ˣ + p·aˣ + q = 0 | a > 0, a ≠ 1 | Замена t = aˣ, затем отбор только положительных корней | Условие t > 0 |
| aᶠ⁽ˣ⁾ > aᵍ⁽ˣ⁾ | a > 1 | Сравнить показатели без изменения знака | Границы и знаки неравенства |
| aᶠ⁽ˣ⁾ > aᵍ⁽ˣ⁾ | 0 < a < 1 | Сравнить показатели с изменением знака | Не перепутать направление неравенства |
Сначала определите вид задания и проверьте, можно ли привести степени к одному основанию. Затем выберите соответствующий приём и отдельно учтите ограничения, например b > 0 или t > 0. В неравенстве всегда проверьте, растёт или убывает функция при данном основании.
Задача 1. Решить уравнение 2ˣ⁺¹ = 8. Правая часть уже может быть представлена степенью с основанием 2, поэтому удобно привести обе части к одинаковому основанию. После этого останется линейное уравнение относительно показателя.
Задача 2. Решить уравнение 3²ˣ − 4·3ˣ + 3 = 0. В уравнении есть 3ˣ и его квадрат 3²ˣ, поэтому замена t = 3ˣ превратит выражение в квадратный трёхчлен. После решения нужно проверить, какие корни могут быть значениями 3ˣ. Это важно, потому что замена принимает только положительные значения.
Задача 3. Решить неравенство (½)ˣ⁻¹ > 4. Основание ½ лежит между нулём и единицей, поэтому функция убывает. Представим правую часть степенью с тем же основанием, чтобы сравнить показатели. При переходе к ним направление знака придётся изменить.
Первая ошибка — разрешать основание a = 1 или a ≤ 0. Так делают, забывая, что для показательной функции требуется a > 0 и a ≠ 1: иначе функция не определена при всех действительных показателях или становится постоянной. Перед решением проверьте основание в записи степеней. Если оно не удовлетворяет условию, применять правила показательной функции нельзя.
Вторая ошибка — оставлять отрицательный или нулевой корень после замены t = aˣ. Иногда решают квадратное уравнение и сразу записывают все его корни как возможные значения замены. Но aˣ всегда больше нуля, поэтому такой корень не подходит. Запишите условие t > 0 до решения квадратного уравнения и проверьте каждый найденный корень.
Третья ошибка — не менять знак неравенства при основании 0 < a < 1. Причина в том, что правило для возрастающей функции автоматически переносят на убывающую. Сначала установите, возрастает ли функция при данном основании, и только после этого переходите к сравнению показателей. Для проверки подставьте в исходное неравенство пробное значение из предполагаемого ответа.
Четвёртая ошибка — приравнивать показатели у степеней с разными основаниями. Это правило работает только тогда, когда основания одинаковы и удовлетворяют условию a > 0, a ≠ 1. Ошибку допускают, сосредоточившись на показателях и не проверив сами основания. Перед приравниванием перепишите степени с одним основанием или выберите другой способ решения.
Для решения показательных уравнений нужны свойства степеней, преобразование выражений с показателями и умение решать квадратные уравнения. Монотонность функции объясняет правила перехода от степеней к показателям; этот подход связан с изучением функций. Если правую часть нельзя представить степенью с нужным основанием, используют логарифм, поэтому показательные уравнения подготавливают к теме логарифмических уравнений. Показательная зависимость также описывает рост населения, проценты, распад веществ и финансовые модели.
Почему основание показательной функции нельзя сделать отрицательным?
При отрицательном основании степень aˣ не определена как действительное число для многих вещественных x. Поэтому, чтобы функция была определена при любом действительном показателе, требуется a > 0.
Почему при решении неравенства с основанием меньше единицы меняется знак?
При 0 < a < 1 функция y = aˣ убывает: большему показателю соответствует меньшее значение степени. Поэтому из aᵘ > aᵛ следует u < v, и направление сравнения показателей меняется.
Зачем при замене t = aˣ отдельно записывать условие t > 0?
При любом допустимом основании a > 0 значение aˣ строго положительно. Поэтому корни полученного квадратного уравнения, которые равны нулю или меньше нуля, не могут соответствовать исходной замене.
Можно ли сразу приравнивать показатели, если основания степеней разные?
Нет, равенство показателей следует из равенства степеней с одинаковым основанием a > 0, a ≠ 1. Сначала нужно привести степени к одному основанию или решить уравнение другим способом.
Когда для решения показательного уравнения используют логарифм?
Логарифм удобен, когда уравнение имеет вид aᶠ⁽ˣ⁾ = b, но правую часть нельзя представить как степень с основанием a. При b > 0 можно записать f(x) = logₐb и решить полученное уравнение.
§ 87. Показательные уравнения и неравенства
