"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Показательные уравнения и неравенства — это задачи, в которых переменная находится в показателе степени. Они описывают ситуации с быстрым ростом или убыванием и помогают находить неизвестный показатель. Главный приём — привести степени к одному основанию, а затем сравнить показатели. При решении неравенств нужно учитывать, возрастает или убывает показательная функция: от этого зависит, сохранится знак или изменится. Если одинаковое основание подобрать не удаётся, пригодятся логарифмы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Показательное уравнение — уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, например 2ˣ = 8. В уравнении с переменной в основании, например x² = 9, неизвестным является основание, а не показатель. Это различие подсказывает способ решения: в показательном уравнении часто преобразуют степени, чтобы сравнить их показатели.
Показательное неравенство — неравенство, в котором переменная находится в показателе, например 3ˣ > 9. При решении важно учитывать основание степени: при основании больше 1 значения растут вместе с показателем, а при основании между 0 и 1 — убывают. Поэтому от основания зависит, сохранится ли знак неравенства при сравнении показателей.
Показательная функция — функция вида y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1. Число a называется основанием, а x — переменной-показателем; каждому допустимому x соответствует значение функции. Основание определяет направление изменения функции, поэтому его проверяют прежде, чем решать уравнение или неравенство сравнением показателей.
Равносильное преобразование — переход к уравнению или неравенству с тем же множеством решений. Например, заменив одинаковые степени с основанием a на равенство показателей при a > 0, a ≠ 1, мы получаем равносильное уравнение. Такие переходы позволяют решать задачу проще и помогают не потерять подходящие значения переменной и не добавить лишние.
Если степени равны и у них одинаковое основание a, где a > 0 и a ≠ 1, то равны и показатели: aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ равносильно f(x) = g(x). Причина в том, что функция y = aˣ принимает каждое положительное значение только при одном показателе. Поэтому разные показатели не могут дать одинаковый результат. Перед приравниванием показателей нужно привести обе части к одному допустимому основанию.
Уравнение aˣ = b можно решить через свойства степеней, если b удаётся представить как aᵏ. Тогда уравнение принимает вид aˣ = aᵏ, и остаётся решить x = k. Например, если 5ˣ = 125, то 125 = 5³, поэтому x = 3. Такой способ удобен, потому что вместо поиска неизвестной степени мы получаем простое равенство показателей.
Направление изменения y = aˣ следует из того, как умножение на основание влияет на значение степени. Если a > 1, при увеличении показателя степень умножается на число больше единицы и возрастает. Если 0 < a < 1, при увеличении показателя происходит умножение на дробь меньше единицы, поэтому степень уменьшается. Это свойство называется монотонностью: функция всё время изменяется в одном направлении.
Монотонность позволяет заменить сравнение степеней с одинаковым основанием сравнением их показателей. Для основания больше 1 большему показателю соответствует большая степень, и порядок сохраняется. Для основания между 0 и 1 большему показателю соответствует меньшая степень, поэтому сравнение идёт в обратном порядке. После такого перехода решают обычное линейное или квадратное неравенство.
Например, при a > 1 из aᵘ > aᵛ следует u > v, потому что функция возрастает. При 0 < a < 1 из aᵘ > aᵛ следует u < v, так как функция убывает. Таким образом, знак меняется не по отдельному правилу для степеней, а из-за обратного порядка значений убывающей функции. Если в задаче основания не совпадают, сначала нужно выяснить, можно ли преобразовать степени к общему основанию.
| Ситуация | Основание | Переход | Что учитывать |
|---|---|---|---|
| Уравнение aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ | a > 0, a ≠ 1 | f(x) = g(x) | Основания должны совпадать и быть допустимыми. |
| Неравенство aᶠ⁽ˣ⁾ > aᵍ⁽ˣ⁾ | a > 1 | f(x) > g(x) | Знак сохраняется, потому что функция возрастает. |
| Неравенство aᶠ⁽ˣ⁾ < aᵍ⁽ˣ⁾ | 0 < a < 1 | f(x) > g(x) | Знак меняется, потому что функция убывает. |
| Уравнение aˣ = b, когда b представимо как степень a | a > 0, a ≠ 1 | Если b = aᵏ, то x = k | Сначала представить b как степень того же основания. |
Сначала найдите ситуацию, которая соответствует вашей задаче, и проверьте основание. Затем выполните указанный переход: для уравнения приравняйте показатели, а для неравенства сохраните или измените знак. Если правую часть можно представить как степень основания, замените её такой степенью и решайте полученное уравнение.
Задача 1. Решите уравнение 2⁽ˣ⁺¹⁾ = 8. Правая часть не записана как степень двойки, поэтому сначала приведём обе части к одному основанию. Это даст равенство показателей, которое легко решить.
Ответ: x = 2.
Задача 2. Решите неравенство 3⁽²ˣ⁻¹⁾ ≤ 1/9. Чтобы сравнить показатели, запишем дробь как степень основания 3. Основание больше 1, поэтому при переходе к показателям направление неравенства сохранится.
Ответ: x ≤ −1/2.
Задача 3. Решите неравенство (1/3)⁽ˣ²⁻¹⁾ > (1/3)²ˣ. Основания уже одинаковы, а основание 1/3 находится между 0 и 1. Значит, функция убывает и при сравнении показателей знак нужно поменять на противоположный.
Ответ: x ∈ (1 − √2; 1 + √2).
Приравнивать показатели, не приведя обе части к одному основанию, — ошибка: правило относится к степеням с одинаковым основанием. Её допускают, забывая об условии, на котором основано решение. Проверьте, что обе части действительно записаны как степени одного числа a, причём a > 0 и a ≠ 1.
Оставлять знак неравенства без изменения при основании от 0 до 1 — неверно, потому что соответствующая функция убывает. Часто знак переносят по привычке из случаев с возрастающей функцией. Для самопроверки возьмите два показателя, например 1 и 2: при основании 1/3 значение (1/3)¹ больше, чем (1/3)².
Считать, что основание может быть любым числом, нельзя: для показательной функции требуется a > 0 и a ≠ 1. Ошибка возникает, если забыть, что при отрицательном основании степени с произвольными действительными показателями не определены, а при основании 1 функция постоянна. Перед применением правил выпишите ограничения на основание и проверьте их.
Переходить к уравнению показателей, не проверив равносильность преобразования, рискованно: можно потерять решения или добавить лишние. Такое случается при делении на выражение, которое может оказаться нулём, или при использовании неподходящего преобразования. Проверяйте каждый шаг и подставляйте найденные корни в исходное уравнение.
Для решения нужно знать свойства степеней: они помогают переписать числа и выражения как степени одного основания. Также пригодятся линейные и квадратные уравнения и неравенства, возникающие после сравнения показателей. Если привести степени к общему основанию не удаётся, применяют логарифмы: логарифм позволяет найти неизвестный показатель. Поэтому показательные уравнения подготавливают к изучению логарифмов.
В показательном выражении основание положительно и не равно 1.
При одинаковом основании больше 1 показательная функция возрастает.
При основании между 0 и 1 показательная функция убывает.
В равенстве степеней с одинаковым допустимым основанием можно приравнять показатели.
В неравенстве при основании больше 1 знак сохраняется.
В неравенстве при основании между 0 и 1 знак меняется.
После преобразований проверьте, что получено равносильное уравнение или неравенство.
Почему в показательном уравнении можно приравнять показатели?
Если a > 0 и a ≠ 1, функция y = aˣ принимает каждое значение только при одном показателе. Поэтому из aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ следует f(x) = g(x). Основания должны быть одинаковыми.
Что делать, если правую часть нельзя сразу представить как степень того же основания?
Сначала попробуйте преобразовать обе части уравнения или неравенства с помощью свойств степеней. Если привести их к общему основанию не получается, для уравнения может понадобиться логарифмирование. Также можно проверить, допускает ли задача замену переменной или другой способ решения.
Почему при основании меньше 1 знак неравенства меняется?
При 0 < a < 1 показательная функция убывает: большему показателю соответствует меньшее значение степени. Поэтому при сравнении показателей направление неравенства становится противоположным. Например, из aᵘ > aᵛ следует u < v.
Можно ли решать показательное неравенство, не зная монотонности показательной функции?
Надёжно сравнивать показатели можно, только учитывая монотонность. При основании больше 1 функция возрастает, а при основании между 0 и 1 убывает. Если это не учесть, легко выбрать неверный знак неравенства.
Как проверить корни показательного уравнения?
Подставьте найденные значения переменной в исходное уравнение и вычислите обе части. Они должны быть равны, а само значение должно быть допустимым. Такая проверка особенно полезна, если при преобразованиях возводили выражения в степень или делили на выражение с переменной.
§ 40. Показательные уравнения и неравенства
