§ 39. Показательная функция, ее свойства и график

Определения и обозначения

Показательная функция — функция вида y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1. Её отличает от степенной функции то, что переменная x стоит в показателе, а основание a — постоянное число. Например, в y = x³ переменная является основанием, а в y = 3ˣ — показателем. Это различие важно: от него зависит способ исследования функции и форма её графика.

Основание показательной функции — число a в записи y = aˣ, которое задаёт, как меняются значения функции при изменении x. Оно должно быть положительным, чтобы степень была определена как действительное число для каждого действительного показателя. Основание не может равняться единице: тогда функция принимала бы только одно значение и была бы постоянной. Условие 0 < a < 1 или a > 1 сразу подсказывает направление изменения функции.

График показательной функции — кривая, показывающая, как каждому значению x соответствует значение aˣ. На ней всегда есть точка (0; 1), потому что a⁰ = 1; при x = 1 получаем точку (1; a). График целиком расположен выше оси x и не касается её ни в одной точке. Эти ориентиры помогают проверить построение и понять поведение функции, даже если основание меняется.

Как это устроено

Для любого допустимого основания a нулевая степень равна единице: a⁰ = 1. Поэтому при x = 0 значение функции y = aˣ равно 1, и график проходит через точку (0; 1). Это верно как для основания больше единицы, так и для основания между нулём и единицей. Значит, эту точку удобно использовать как обязательную опору при построении любого показательного графика.

Если a > 1, то при увеличении показателя значение степени увеличивается: например, 2¹ < 2² < 2³. Для любых действительных показателей действует тот же порядок, поэтому функция возрастает на всей числовой прямой. Если 0 < a < 1, основание можно записать как дробь, например ½. Тогда при переходе от (½)¹ к (½)² значение становится меньше, и функция убывает. Так свойства степеней объясняют оба направления монотонности.

Положительное основание в любой действительной степени даёт положительное значение, то есть aˣ > 0. Следовательно, ни одна точка графика не может иметь ординату 0 или быть ниже нуля. Именно поэтому график лежит выше оси x и не пересекает её. Это остаётся верным и тогда, когда значения функции становятся очень малыми.

Изменение основания меняет вид кривой и направление её движения: при a > 1 она поднимается слева направо, а при 0 < a < 1 опускается. Чем сильнее основание отличается от единицы, тем заметнее меняются значения при изменении x. Однако область определения, положительность значений и точка (0; 1) остаются теми же. Поэтому графики разных показательных функций похожи по общим свойствам, хотя могут выглядеть по-разному.

Ось x служит горизонтальной асимптотой — прямой, к которой график приближается, не достигая её. При a > 1 отрицательные показатели дают aˣ = 1/a⁻ˣ, поэтому при движении x влево значения стремятся к нулю. При 0 < a < 1 значения стремятся к нулю при движении вправо. В противоположном направлении значения функции неограниченно растут, но нулю не равны.

Свойства показательной функции y = aˣ

Сначала найдите, к какому случаю относится основание: a > 1 или 0 < a < 1. Затем по соответствующему столбцу определите, как меняются значения и в каком направлении график приближается к оси x. Общие строки показывают свойства, которые не зависят от выбора допустимого основания.

Разбор задач

Построить график y = 2ˣ для x = −2, −1, 0, 1, 2

Чтобы построить график, сначала составим таблицу значений. При отрицательных показателях используем правило a⁻ⁿ = 1/aⁿ, а при нулевом показателе — равенство a⁰ = 1. Так вычисления дают точные координаты точек, которые нужно нанести на плоскость. Поскольку 2 > 1, готовая кривая должна возрастать.

1. При x = −2: y = 2⁻² = 1/2² = ¼.
2. При x = −1: y = 2⁻¹ = ½.
3. При x = 0: y = 2⁰ = 1.
4. При x = 1: y = 2¹ = 2; при x = 2: y = 2² = 4.
5. Отметим точки (−2; ¼), (−1; ½), (0; 1), (1; 2), (2; 4) и плавно соединим их возрастающей кривой.

Ответ: таблица значений: ¼, ½, 1, 2, 4 соответственно. График проходит через (0; 1), возрастает и остаётся выше оси x.

Сравнить 3⁻² и 3⁻¹, а также (⅓)⁻² и (⅓)⁻¹

Здесь основания относятся к разным случаям, поэтому сравнивать нужно отдельно. Функция с основанием 3 возрастает, а с основанием ⅓ убывает. Можно проверить вывод и вычислением отрицательных степеней: они превращаются в обратные положительные степени. Проверка помогает не перепутать направление неравенства.

1. Для основания 3: 3⁻² = 1/9, а 3⁻¹ = 1/3. Следовательно, 3⁻² < 3⁻¹.
2. Для основания ⅓: (⅓)⁻² = 9, а (⅓)⁻¹ = 3. Следовательно, (⅓)⁻² > (⅓)⁻¹.

Ответ: 3⁻² < 3⁻¹; (⅓)⁻² > (⅓)⁻¹. В первом случае функция возрастает, а во втором убывает.

Определить, принадлежат ли точки A(2; 9), B(−1; ⅓), C(0; 1) графику y = 3ˣ

Точка принадлежит графику, если при её абсциссе формула даёт именно указанную ординату. Поэтому проверяем каждую точку подстановкой x в выражение 3ˣ и сравниваем результат с y. Здесь важно учитывать знак абсциссы: отрицательный показатель означает обратную степень. Совпадение обеих координат с формулой и будет проверкой принадлежности.

1. A(2; 9): 3² = 9, ордината совпала, значит, точка принадлежит графику.
2. B(−1; ⅓): 3⁻¹ = 1/3, ордината совпала, значит, точка принадлежит графику.
3. C(0; 1): 3⁰ = 1, ордината совпала, значит, точка принадлежит графику.

Ответ: все три точки принадлежат графику y = 3ˣ.

Типичные ошибки

Иногда в определение включают a = 1 или a ≤ 0. При a = 1 получается постоянная функция, а отрицательное основание не даёт действительного значения для каждого действительного показателя; нулевое основание также не подходит для всех x. Ошибку допускают, если ориентируются лишь на целые показатели. Проверяйте условие определения: допустимо только a > 0 и a ≠ 1.

Другая ошибка — считать, что при 0 < a < 1 функция возрастает. Это происходит, если забыть, что каждое следующее умножение на дробь меньше единицы уменьшает результат. Например, (½)¹ = ½, а (½)² = ¼. Для проверки сравните значения при двух соседних показателях или вспомните, что основание меньше единицы соответствует убывающей функции.

Множество значений иногда записывают как все действительные числа. Но степень положительного основания всегда положительна: отрицательного значения или нуля получить нельзя. Ошибка часто возникает из-за привычки считать, что функция может принимать любые ординаты. Проверьте знак формулы aˣ и укажите множество значений (0; +∞).

Наконец, график могут рисовать пересекающим ось x. Причина — путаница между приближением к нулю и достижением нуля: при удалении в нужную сторону значения становятся всё меньше, но остаются положительными. Проверьте рисунок по знаку функции и по поведению степени. Кривая должна подходить к оси x сколь угодно близко, не касаясь и не пересекая её.

Связь с другими темами

Для изучения показательной функции нужны свойства степеней с целым и рациональным показателем: они помогают вычислять значения и работать с отрицательными степенями. Также понадобятся понятие функции и координатная плоскость, чтобы понимать соответствие аргумента и значения и строить график. Позже свойства показательной функции используют при решении показательных уравнений и неравенств. Такие функции помогают описывать процессы роста и убывания, например изменение величины, которая за равные промежутки времени увеличивается или уменьшается в одинаковое число раз.

Что запомнить

• Показательная функция имеет вид y = aˣ при a > 0 и a ≠ 1.
• Её область определения — все действительные числа.
• Её область значений — положительные числа.
• График проходит через точку (0; 1).
• При a > 1 функция возрастает; при 0 < a < 1 убывает.
• График не пересекает ось x, а ось x является горизонтальной асимптотой.