§ 11. Показательная функция, её свойства и график

Определения и обозначения

Показательная функция — функция вида y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1. В обычной степени переменная часто стоит у основания, а здесь она находится в показателе: именно x определяет, в какую степень возводят число a. Такое обозначение удобно, когда нужно описать зависимость, в которой одна и та же величина многократно увеличивается или уменьшается.

Число a называют основанием показательной функции. Оно постоянно и определяет характер изменения функции: при разных основаниях график может возрастать или убывать. Условия a > 0 и a ≠ 1 нужны, чтобы степени были определены для всех действительных показателей и функция не сводилась к постоянной.

Область определения показательной функции — все действительные числа. Это значит, что вместо x можно подставить целое, дробное или иррациональное число, в том числе отрицательное. Поэтому график функции продолжается влево и вправо без разрывов, а не начинается только при x = 0.

Множество значений показательной функции — все положительные числа. При любом допустимом x степень положительного основания остаётся положительной, поэтому y не бывает равным нулю или меньше нуля. Это свойство позволяет сразу исключать отрицательные значения и ноль, если требуется найти возможные значения функции.

Как это устроено

Почему при a > 0 выражение aˣ определено для любого действительного x? Степень с действительным показателем задают через свойства степеней и, в частности, через показательную зависимость, сохраняющую непрерывное изменение при изменении x. Положительное основание позволяет корректно определить такие степени, включая дробные и иррациональные показатели. Для отрицательного основания это нельзя сделать согласованно для всех действительных x: например, некоторые дробные показатели дали бы невещественные значения.

Основание a = 1 исключают, потому что 1ˣ всегда равно 1, независимо от x, и функция не меняется. Если же a > 1, при увеличении показателя каждый следующий множитель увеличивает результат: например, aˣ⁺¹ = aˣ · a. Если 0 < a < 1, умножение на a уменьшает значение, поэтому функция убывает. Так условие на основание сразу объясняет два возможных направления изменения графика.

График проходит через точку (0; 1), потому что нулевая степень любого ненулевого числа равна единице: a⁰ = 1. Значит, независимо от выбора основания точка пересечения с осью Oy одна и та же. Это удобная опорная точка, через которую можно проверить, правильно ли построен график.

График расположен выше оси Ox, так как aˣ > 0 при любом действительном x. Он не пересекает эту ось: для пересечения понадобилось бы значение y = 0, а степень положительного основания нулю не равна. При a > 1 значения приближаются к нулю, когда x уходит в −∞; при 0 < a < 1 это происходит при x → +∞.

Для построения удобно вычислить значения при x = −1, 0 и 1. Получаются точки (−1; 1/a), (0; 1) и (1; a), поскольку a⁻¹ = 1/a, a⁰ = 1 и a¹ = a. Отметив точки, проведи через них плавную кривую, которая всё время остаётся выше оси Ox. До построения определи по основанию направление: при a > 1 кривая возрастает, при 0 < a < 1 убывает.

Свойства показательной функции y = aˣ

Сначала найди столбец, которому соответствует основание, а затем используй строку с нужным свойством. Например, для поведения при больших положительных x важно, больше ли основание единицы. В строке с опорными точками формулы общие, но при основаниях из разных столбцов значения располагаются по-разному.

Разбор задач

Постройте график функции y = 2ˣ, отметив значения при x = −1, 0 и 1.

1. Подставим x = −1: y = 2⁻¹ = 1/2. Получили точку (−1; 1/2).
2. При x = 0 имеем y = 2⁰ = 1, поэтому график проходит через (0; 1).
3. При x = 1 получаем y = 2¹ = 2, то есть точку (1; 2). Так как основание 2 больше единицы, через все три точки проводим плавную возрастающую кривую.

Ответ: опорные точки — (−1; 1/2), (0; 1), (1; 2); график возрастает и расположен выше оси Ox. При построении не соединяй точки отрезками: график показательной функции — плавная кривая. Влево он приближается к оси Ox, не пересекая её.

Сравните без вычисления десятичных приближений числа 3² и 3⁵, а затем числа (1/3)² и (1/3)⁵.

1. В первом сравнении основание 3 больше единицы, поэтому функция y = 3ˣ возрастает. Показатель 5 больше 2, значит, значение при x = 5 больше.
2. Во втором сравнении основание 1/3 находится между нулём и единицей, поэтому функция убывает. При увеличении показателя значение становится меньше, значит, степень с показателем 5 меньше степени с показателем 2.

Ответ: 3² < 3⁵, а (1/3)² > (1/3)⁵. Здесь не требуется находить сами степени: достаточно проверить основание и сопоставить показатели. Такой способ особенно полезен, когда значения неудобно вычислять.

Постройте на одних осях графики y = 2ˣ и y = (1/2)ˣ и укажите их общие и различающиеся свойства.

1. Для y = 2ˣ отмечаем точки (−1; 1/2), (0; 1), (1; 2). Эта функция возрастает, поскольку 2 > 1.
2. Для y = (1/2)ˣ получаем точки (−1; 2), (0; 1), (1; 1/2). Вторая функция убывает, поскольку её основание находится между 0 и 1.
3. Обе функции определены при всех действительных x, принимают только положительные значения и проходят через (0; 1). Кроме того, (1/2)ˣ = 2⁻ˣ, поэтому при замене x на −x график первой функции отражается относительно оси Oy.

Ответ: графики пересекаются в точке (0; 1), но один возрастает, а другой убывает; они симметричны относительно оси Oy. При построении проверь, что точки с координатами x = −1 и x = 1 у графиков меняются местами. Оба графика остаются выше оси Ox.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что основанием может быть любое число. Для показательной функции требуются условия a > 0 и a ≠ 1: при отрицательном основании выражение не определено для всех действительных x, а при a = 1 функция постоянна. Эту ошибку допускают, перенося правила для целых степеней на действительные показатели. Проверяй основание до подстановки значений.

Иногда область определения указывают только положительными числами, потому что функция принимает положительные значения. Но область определения относится к x, а не к y: показатель может быть любым действительным числом, включая отрицательное. Проверить себя можно, подставив x = −1: например, 2⁻¹ = 1/2 определено. Не смешивай допустимые аргументы с возможными значениями функции.

Ещё одна ошибка — считать, что функция может принимать ноль или отрицательные значения. Для допустимого a степень aˣ всегда положительна, хотя при некоторых направлениях изменения график приближается к нулю. Ноль может казаться возможным из-за такого приближения, но приближение не означает равенство. При проверке подставь любое значение x и используй свойство степени положительного основания.

Можно перепутать направление монотонности: решить, что функция с основанием между нулём и единицей возрастает. Причина в том, что при отрицательных x её значения могут быть большими, но это не отменяет убывания слева направо. Возьми для проверки два показателя x₁ < x₂: при a > 1 значение при x₁ меньше, а при 0 < a < 1 — больше. Сначала сравни основание с единицей, а потом делай вывод.

Связь с другими темами

Для изучения показательной функции нужны свойства степени с действительным показателем и умение читать координатную плоскость: они помогают находить значения и строить график. Монотонность функции используется при решении показательных уравнений и неравенств, когда сравнивают значения степеней. Графики показательной функции описывают процессы роста и убывания. С ними также связано изучение логарифмической функции: она обратна показательной.

Что запомнить

• Показательная функция имеет вид y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1.
• Область определения — все действительные числа.
• Множество значений — положительные числа.
• График проходит через точку (0; 1).
• При a > 1 функция возрастает.
• При 0 < a < 1 функция убывает.
• График не пересекает ось Ox.