§ 86. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами

Определения и обозначения

Иррациональное уравнение с параметром — уравнение, в котором неизвестное входит в выражение под знаком корня, а кроме неизвестного есть параметр. Параметр считают фиксированным числом, но его значение может менять допустимые значения неизвестного и число решений. Поэтому задачу решают не для одного числа, а исследуют при разных значениях параметра.

Иррациональное неравенство с параметром — неравенство с неизвестным под знаком корня и с параметром в одном или нескольких выражениях. Корень задаёт ограничения на допустимые значения и влияет на сравнение левой и правой частей. Исследование параметра позволяет выяснить, при каких его значениях неравенство имеет решения и каково множество этих решений.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения или неравенства — множество значений неизвестного, при которых все корни в условии определены как действительные числа. Для квадратного корня это означает, что каждое подкоренное выражение неотрицательно. ОДЗ нужно записывать до преобразований, чтобы не рассматривать значения, не имеющие смысла в исходном условии.

Множество решений при фиксированном параметре — все значения неизвестного, которые при выбранном значении параметра удовлетворяют исходному условию. В ответ могут входить отдельные числа, промежуток или пустое множество. Это определение напоминает, что найденные после преобразований кандидаты ещё нужно проверить в исходном условии.

Как это устроено

Перед преобразованиями с корнями находят ОДЗ, потому что квадратный корень в действительных числах определён только при неотрицательном подкоренном выражении. Кроме того, возведение в квадрат не сохраняет всю информацию о знаке: числа с разными знаками имеют одинаковый квадрат. Поэтому преобразованное уравнение может иметь больше решений, чем исходное, если ограничения не записаны заранее.

Для уравнения √f(x) = g(x) корень слева неотрицателен, значит, равенство возможно лишь при g(x) ≥ 0. При этом нужно f(x) ≥ 0, чтобы корень существовал. Если обе части неотрицательны, возведение в квадрат равносильно исходному равенству и даёт систему f(x) = g²(x), g(x) ≥ 0, f(x) ≥ 0. Первое условие системы задаёт равенство квадратов, а два остальных сохраняют нужные знаки и ОДЗ.

Условие неотрицательности правой части нельзя отбрасывать после возведения в квадрат, потому что равенство квадратов допускает и противоположные числа. Например, уравнение √f(x) = −2 не может иметь решений, хотя после возведения в квадрат получится f(x) = 4. Если исходная правая часть отрицательна, равенство невозможно; если её знак зависит от x или параметра, знак следует учесть отдельным условием.

Параметр может менять ОДЗ: например, в выражении √(x+a) требуется x+a ≥ 0, то есть x ≥ −a. При разных a граница допустимых значений перемещается. Параметр также может менять знак правой части или коэффициентов после преобразования, а значит, влиять на равносильность и число решений. Поэтому случаи разделяют по значениям, при которых нужные выражения обращаются в ноль или меняют знак.

В неравенстве нельзя автоматически возводить обе части в квадрат: квадрат сохраняет порядок только на неотрицательных числах. Сначала проверяют ОДЗ и знаки сравниваемых выражений, а также учитывают, что функция √t возрастает при t ≥ 0. Например, из √f(x) ≤ g(x) следует потребовать g(x) ≥ 0, после чего сравнение можно возвести в квадрат; без этого условия преобразование неверно. Если знаки не установлены, задачу разбивают на случаи или сравнивают выражения без возведения в квадрат.

Приёмы решения иррациональных уравнений и неравенств с параметром

Пользуйся таблицей как проверочным планом: сначала выбери строку, соответствующую виду условия, затем запиши ограничения до преобразования. Условия в строке о параметре применяются дополнительно к конкретной строке, когда знак или ОДЗ зависит от его значения. После преобразования обязательно вернись к исходному условию и отсеки недопустимые значения.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение √(x+a) = 2 при всех значениях параметра a.

1. Записываем ОДЗ: x+a ≥ 0. Правая часть равна 2 и неотрицательна, поэтому после возведения в квадрат не возникает дополнительного ограничения по её знаку.

2. Возводим обе части в квадрат: x+a = 4, откуда x = 4−a. Проверяем ОДЗ: для найденного значения x+a = 4 ≥ 0 при любом a.

3. Значит, при каждом действительном a уравнение имеет ровно одно решение. Ответ: x = 4−a при любом a ∈ R.

Задача 2. Найти все значения a, при которых √(x+a) = x имеет ровно одно решение.

1. Сначала фиксируем знак правой части: x ≥ 0. Одновременно требуется x+a ≥ 0. При x ≥ 0 равенство после возведения в квадрат даст x+a = x², а оно автоматически влечёт x+a = x² ≥ 0.

2. Получаем квадратное уравнение x²−x−a = 0 с дискриминантом D = 1+4a. При D < 0 корней нет, то есть при a < −¼ решений нет; при a = −¼ есть один корень x = ½, и он допустим.

3. При a > −¼ корни равны (1 ± √(1+4a))/2. Корень со знаком «плюс» положителен; корень со знаком «минус» неотрицателен тогда и только тогда, когда a ≤ 0. Поэтому при −¼ < a ≤ 0 решений два, а при a > 0 — одно.

4. Объединяем случаи с ровно одним решением: граничное значение a = −¼ и все a > 0. Ответ: a ≤ −¼ или a > 0.

Задача 3. Определить все значения a, при которых √(x+a) ≤ x−a выполняется хотя бы для одного x.

1. Для левой части нужна ОДЗ: x+a ≥ 0. Так как корень неотрицателен, правая часть тоже должна быть неотрицательной: x−a ≥ 0. Эти условия позволят корректно возвести обе части в квадрат.

2. При выполнении обоих условий получаем x+a ≤ (x−a)². Чтобы показать существование решения при любом a, достаточно подобрать x. Если a ≤ 0, берём x = −a: тогда под корнем 0, а правая часть равна −2a ≥ 0.

3. Если a > 0, выбираем x = a+t, где t ≥ 0. Тогда правая часть равна t, а под корнем 2a+t. При достаточно большом t выполняется t² ≥ 2a+t, то есть √(2a+t) ≤ t. Например, можно взять t = a+2: разность t²−t−2a = a²+a+2 положительна.

4. Для a ≤ 0 решение найдено подбором x, и для a > 0 оно также существует. Ответ: неравенство имеет хотя бы одно решение при любом a ∈ R.

Типичные ошибки

Возведение в квадрат без проверки знака правой части. Так теряют условие, что квадратный корень неотрицателен, и могут получить посторонние корни. Ошибка возникает потому, что равенство квадратов принимают за исходное равенство. Проверь себя: перед квадратом запиши g(x) ≥ 0 и проверь найденные значения в исходном уравнении.

Забывать ОДЗ после преобразования. Решение уравнения, полученного после возведения в квадрат, может включать x, при котором под корнем отрицательное число. Обычно ОДЗ записывают, но не используют при отборе ответа. Подставь каждый кандидат в подкоренные выражения и оставь только значения с неотрицательными подкоренными выражениями.

Возводить обе части неравенства в квадрат при любых знаках. На отрицательных числах квадрат меняет порядок, поэтому такое преобразование неравносильно. Эту ошибку допускают, перенося правило для равенств на неравенства. Сначала установи знаки обеих частей; квадрат применяй только к неотрицательным выражениям и сохрани строгие или нестрогие знаки.

Считать параметр обычной переменной и не разделять случаи. Между тем его значение может изменить ОДЗ, знак выражения или число решений. Из-за этого один и тот же ход решения иногда подходит лишь при части значений параметра. Найди выражения, знак которых важен, отметь значения параметра, при которых они равны нулю, и проверь каждый промежуток и границу отдельно.

Связь с другими темами

До решения таких задач нужно уметь находить ОДЗ выражений с корнями, а также решать квадратные уравнения и неравенства: именно они часто получаются после преобразований. Тема опирается на равносильные преобразования и исследование знаков выражений, поэтому важно отличать равносильный переход от перехода, который только даёт кандидатов. Эти приёмы пригодятся дальше, когда нужно исследовать число решений уравнения или неравенства в зависимости от параметра.

Что запомнить

• Сначала найди ОДЗ, затем преобразуй выражение с корнем.
• Из √f(x) = g(x) следует f(x) = g²(x) только вместе с условиями f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0.
• После возведения уравнения в квадрат проверь найденные корни в исходном условии.
• В неравенствах возводить обе части в квадрат можно лишь при обоснованных знаках обеих частей.
• Разбивай значения параметра на случаи, если от него зависят ОДЗ или знаки выражений.
• В ответ включай только значения неизвестного, допустимые в исходном условии.