"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Иррациональные уравнения и неравенства содержат неизвестную под знаком корня, а параметр влияет на допустимые значения и итоговый ответ. Чтобы решить такую задачу, сначала находят область допустимых значений, затем проверяют знаки сторон и только после этого преобразуют выражение. При возведении в квадрат могут появиться лишние решения, поэтому кандидатов проверяют в исходном условии. Особенно внимательно исследуют граничные значения параметра.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Иррациональное уравнение с параметром — уравнение, в котором неизвестная входит под знак корня, а параметр влияет на множество решений. Например, в √(x − 1) = a значение a определяет, существует ли решение. Такая запись нужна, чтобы исследовать не один ответ, а все случаи изменения параметра.
Иррациональное неравенство с параметром — неравенство с неизвестной под знаком корня, решения которого зависят от значения параметра. Например, в √(x − a) ≥ x меняется область допустимых x при изменении a. Поэтому ответ часто записывают отдельно для разных промежутков параметра.
Область допустимых значений (ОДЗ) — значения неизвестной и параметра, при которых выражения с корнями определены. Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. ОДЗ нужна, чтобы не включить в ответ значения, при которых исходная запись не имеет смысла.
Равносильное преобразование — переход к уравнению или неравенству с тем же множеством решений при фиксированном значении параметра. Возведение в квадрат не всегда равносильно исходной записи, если не учтены знаки сторон. Понятие равносильности помогает понять, какие ограничения надо сохранить и что проверять после преобразования.
Сначала находят ОДЗ: выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным. Это делают до преобразований, потому что квадратирование может скрыть исходное ограничение, но не делает недопустимое значение допустимым. В уравнении √A = B дополнительно требуется B ≥ 0: значение корня не бывает отрицательным. Поэтому равносильная запись имеет вид A = B² при условиях A ≥ 0 и B ≥ 0.
При возведении уравнения в квадрат равенство корней превращается в равенство квадратов, но обратный переход возможен не всегда. Из A = B² следует √A = |B|, а не обязательно √A = B. Если B отрицательно, преобразованное уравнение может дать корень, который не подходит исходному. Поэтому проверяют и ОДЗ, и исходное равенство.
После квадратирования часто получается квадратное уравнение, и его корни зависят от дискриминанта. Но одного условия D ≥ 0 недостаточно: корни должны удовлетворять ОДЗ и знаку выражения, равного корню. Например, из двух корней квадратного уравнения один может оказаться меньше допустимой границы. При исследовании параметра учитывают все эти ограничения одновременно.
Число решений меняется на границах условий: когда подкоренное выражение обращается в ноль, дискриминант становится нулём или выражение меняет знак. Между такими границами условия обычно сохраняют один и тот же вид, поэтому параметр удобно разбить на промежутки. Для неравенств сначала определяют знаки обеих частей: если они неотрицательны, квадрат сохраняет порядок. Если правая часть отрицательна, сравнение √A ≥ B уже выполняется при A ≥ 0, и квадратирование не требуется.
Таблица показывает, какие знаковые условия позволяют перейти от корня к квадратам без потери или добавления решений. Сначала проверь ОДЗ и знак правой части, затем выбери подходящую строку. Условия после преобразования сохраняй в ответе: само квадратное равенство или неравенство их не заменяет.
| Исходная ситуация | Необходимые условия | Преобразование | Что проверить |
|---|---|---|---|
| √A = B | A ≥ 0 и B ≥ 0 | Заменить на A = B² | ОДЗ и исходное равенство |
| √A ≤ B | A ≥ 0 и B ≥ 0 | Заменить на A ≤ B² | ОДЗ и знак B |
| √A ≥ B при B ≤ 0 | A ≥ 0 | Неравенство выполняется автоматически | Только ОДЗ |
| √A ≥ B при B > 0 | A ≥ 0 и B > 0 | Заменить на A ≥ B² | ОДЗ и условие B > 0 |
Задача 1. Для каждого значения параметра a решить уравнение √(x − 1) = a.
Из условия существования корня получаем x − 1 ≥ 0, то есть x ≥ 1. Левая часть неотрицательна, поэтому необходимо также a ≥ 0. Если a < 0, решений нет.
При a ≥ 0 обе части неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат. Получаем x − 1 = a², откуда x = a² + 1. Это значение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: при a ≥ 0 решение x = a² + 1; при a < 0 решений нет. Проверка подстановкой даёт √(a²) = a, что верно именно при a ≥ 0.
Задача 2. В зависимости от параметра a решить уравнение √(x + a) = x − 1.
Правая часть должна быть неотрицательной, поэтому x ≥ 1. Тогда x + a ≥ 0 проверим на найденных корнях. Возведение в квадрат даёт x + a = (x − 1)², то есть x² − 3x + 1 − a = 0.
Дискриминант равен D = 5 + 4a, поэтому корни могут быть при a ≥ −5/4: x = (3 ± √(5 + 4a))/2. Корень со знаком «плюс» не меньше 1. Корень со знаком «минус» подходит, только если √(5 + 4a) ≤ 1, то есть a ≤ −1.
При a = −5/4 корни совпадают, x = 3/2; при −5/4 < a ≤ −1 подходят оба корня; при a > −1 подходит только корень со знаком «плюс». При a < −5/4 решений нет. Ответ получен с учётом x ≥ 1, поэтому исходное равенство выполняется для каждого указанного корня.
Задача 3. В зависимости от параметра a решить неравенство √(x − a) ≥ x.
ОДЗ задаёт условие x ≥ a. Разделим случаи по знаку правой части. При x ≤ 0 неравенство верно автоматически, так как корень неотрицателен; эта часть ответа есть при a ≤ 0 и даёт отрезок [a; 0].
При x > 0 обе части положительны, поэтому можно возвести неравенство в квадрат: x − a ≥ x², или x² − x + a ≤ 0. Дискриминант равен 1 − 4a, а корни — (1 ± √(1 − 4a))/2; для существования промежутка нужно a ≤ 1/4.
При a ≤ 0 вместе с неположительной частью получаем [a; (1 + √(1 − 4a))/2]. При 0 < a ≤ 1/4 подходят значения от (1 − √(1 − 4a))/2 до (1 + √(1 − 4a))/2 включительно. При a > 1/4 решений нет.
Возводят уравнение в квадрат, не проверив знак правой части, и получают постороннее решение. Так происходит потому, что квадрат устраняет знак числа: равенство квадратов не означает равенства исходных выражений. Перед квадратированием проверь, что обе части неотрицательны, а после — подставь кандидатов в исходное уравнение.
Забывают ОДЗ после возведения в квадрат. Преобразованное уравнение может иметь корни, при которых исходный корень не определён, поскольку квадратирование уже не показывает ограничений на подкоренное выражение. Запиши ОДЗ в начале и проверь каждый найденный корень по этому условию.
Возводят неравенство в квадрат, не проверив знаки обеих частей. При отрицательной правой части, например в √A ≥ B, сравнение может быть верным уже из-за неотрицательности корня, и квадратирование даст лишние ограничения. Определи знак правой части и раздели решение на случаи, если он меняется.
Учитывают только нули дискриминанта, пропуская границы ОДЗ и смены знака. Это происходит, когда исследование сводят к квадратному уравнению, хотя допустимость корней зависит и от других условий. Составь список всех граничных равенств и проверь каждый полученный параметр отдельно.
Для решения нужны навыки нахождения области определения выражений с корнями и решения квадратных уравнений и неравенств. Эти приёмы применяют при исследовании числа решений уравнений с параметром: дискриминант и ограничения помогают разделить случаи. Полезен и графический взгляд: граничному значению параметра может соответствовать касание графиков или пересечение на границе области определения.
Почему после возведения уравнения с корнем в квадрат могут появиться лишние корни?
Возведение в квадрат не сохраняет знак: например, равенство A = B² не гарантирует, что √A = B, если B < 0. Поэтому вместе с квадратным уравнением нужно учитывать знак правой части и проверять найденные значения в исходном уравнении.
Нужно ли записывать ОДЗ, если после преобразования корни проверяются подстановкой?
Да, ОДЗ помогает исключить значения, при которых исходное выражение не определено. Подстановка в исходное уравнение также отсекает посторонние корни, но запись ОДЗ делает решение полным и помогает правильно исследовать параметр.
Когда можно возводить неравенство с корнем в квадрат?
Когда обе сравниваемые части неотрицательны: тогда возведение в квадрат сохраняет порядок. Если правая часть отрицательна, неравенство √A ≥ B выполняется автоматически при A ≥ 0, а случай √A ≤ B при B < 0 невозможен.
Как понять, при каких значениях параметра меняется число решений?
Найдите условия, на границе которых меняется допустимость или количество корней: ноль подкоренного выражения, ноль дискриминанта, смена знака правой части. Полученные значения разделяют числовую прямую параметра на промежутки, внутри которых условия задачи обычно не меняются.
Почему граничные значения параметра нужно проверять отдельно?
На границе может появиться или исчезнуть корень, совпасть два корня либо измениться знак выражения. Поэтому общие рассуждения для промежутков не всегда подходят самой границе: её подставляют в исходные условия отдельно.
2. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами
