"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Иррациональным называют неравенство, в котором переменная находится под корнем или в выражении с дробной степенью. Такие неравенства встречаются при исследовании функций и решении задач, где неизвестная входит в корень. Главный приём — заменить сравнение с корнем условиями без корня, но сделать это равносильно можно только с учётом области допустимых значений и знаков обеих частей. Поэтому решение начинают с ОДЗ, а после преобразований проверяют все условия и ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Иррациональное неравенство — неравенство, в котором переменная содержится под знаком корня или в выражении с дробной степенью. Например, √(x + 1) > 2 — иррациональное неравенство, потому что x находится под квадратным корнем. Определение помогает сразу заметить, что при решении нужно учитывать область определения корней.
Область допустимых значений, или ОДЗ, — множество значений переменной, при которых все выражения с корнями в неравенстве имеют смысл. Для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю. ОДЗ задаёт границы, внутри которых можно преобразовывать исходное неравенство.
Равносильные неравенства — неравенства с одинаковыми решениями. Если при преобразовании забыть условие на знак или ОДЗ, множество решений может измениться. Поэтому каждый шаг нужно обосновывать так, чтобы исходные и полученные условия описывали одни и те же значения переменной.
Метод возведения в квадрат — способ избавиться от квадратного корня, возведя обе сравниваемые части в квадрат. Он применим равносильно, когда обе части неотрицательны, поскольку на неотрицательных числах квадрат сохраняет порядок. Это условие объясняет, почему перед вычислениями проверяют знаки частей неравенства.
Решение начинают с нахождения ОДЗ: каждое подкоренное выражение чётной степени должно быть неотрицательным, а каждый знаменатель — отличным от нуля. Эти ограничения нужны потому, что за пределами ОДЗ исходное выражение не имеет смысла, даже если полученное после преобразований неравенство там выполняется. ОДЗ записывают отдельно, чтобы в конце пересечь её с найденными условиями.
Перед возведением в квадрат устанавливают знаки обеих частей. Причина в том, что функция y = x² сохраняет порядок на неотрицательных числах, но не на всей числовой прямой: например, −3 < 2, хотя (−3)² > 2². Если обе части неотрицательны, можно сравнить их квадраты; иначе нужно разделить решение на случаи или применить готовую схему сравнения корня с выражением.
Для √f(x) < g(x) правая часть должна быть строго положительной: корень неотрицателен и не может оказаться меньше неположительного числа. Когда g(x) > 0, обе части можно возвести в квадрат, получив f(x) < g²(x), но вместе с этим условием сохраняют f(x) ≥ 0. Для знака ≤ правая часть может быть нулём, поэтому условия становятся g(x) ≥ 0 и f(x) ≤ g²(x), а ОДЗ корня остаётся обязательной.
В неравенстве √f(x) > g(x) сначала выясняют знак g(x). Если g(x) < 0, корень автоматически больше правой части при любом x из ОДЗ; если g(x) ≥ 0, обе части неотрицательны и достаточно сравнить f(x) с g²(x), причём сравнение строгое. Для √f(x) ≥ g(x) при g(x) ≤ 0 достаточно ОДЗ, а при g(x) > 0 нужно дополнительно потребовать f(x) ≥ g²(x).
После преобразований могут остаться несколько условий, связанных союзом «и», либо несколько случаев, связанных союзом «или». Условия с «и» образуют систему и требуют одновременного выполнения, а случаи с «или» дают совокупность решений. Их решают, например, методом интервалов, а затем объединяют с ОДЗ: только так итог не выйдет за пределы исходной задачи.
| Исходная форма | Равносильные условия |
|---|---|
| √f(x) < g(x) | f(x) ≥ 0; g(x) > 0; f(x) < g²(x) |
| √f(x) ≤ g(x) | f(x) ≥ 0; g(x) ≥ 0; f(x) ≤ g²(x) |
| √f(x) > g(x) | f(x) ≥ 0 и [g(x) < 0 или (g(x) ≥ 0 и f(x) > g²(x))] |
| √f(x) ≥ g(x) | f(x) ≥ 0 и [g(x) ≤ 0 или (g(x) > 0 и f(x) ≥ g²(x))] |
Здесь f(x) — выражение под корнем, а g(x) — выражение справа от него. Выберите строку по знаку сравнения и запишите все перечисленные условия: их нельзя сокращать, потому что каждое отвечает за ОДЗ или за возможность возведения в квадрат. Затем решите полученную систему либо разберите случаи и проверьте, что найденные значения входят в ОДЗ.
Ответ: x ∈ (3; +∞). Проверка логики проста: при таких x подкоренное выражение положительно, а его корень больше 2.
Ответ: x ∈ [½; +∞). ОДЗ здесь и определяет ответ, а проверка знака правой части позволяет безопасно применить квадрат.
Ответ: x ∈ [13/4; +∞). На границе x = 13/4 сумма корней равна 4, поэтому равенство включается; найденный промежуток удовлетворяет исходному неравенству.
Возводить обе части в квадрат, не проверив их знаки. Ошибка возникает из-за привычки считать квадрат монотонной операцией, хотя на отрицательных числах порядок может измениться. Перед шагом отметьте, что обе части неотрицательны; например, проверьте это на простых числах −3 и 2.
Забывать включить ОДЗ в ответ. После преобразований может получиться неравенство, которое верно и там, где исходный корень не определён. Выпишите ограничения до начала решения и в конце пересеките с ними полученное множество.
Заменять √f(x) < g(x) только на f(x) < g²(x). Так теряется условие g(x) > 0: например, квадрат правой части может оказаться большим, хотя сама правая часть отрицательна. Сверяйтесь со схемой и отдельно проверяйте знак g(x).
Не проверять возможные посторонние значения после нескольких возведений в квадрат. Это допускают, потому что промежуточное алгебраическое условие выглядит проще исходного, но квадрат способен убрать информацию о знаке. Подставьте найденные значения в исходное неравенство и проверьте каждое ограничение ОДЗ.
Для решения нужны навыки нахождения области определения выражений с корнями и решения линейных и квадратных неравенств. Метод опирается на свойства квадратного корня и сравнение неотрицательных чисел возведением в квадрат. Эти приёмы применяют в системах неравенств и при исследовании функций с корнями. Они также помогают разбирать более сложные показательные и логарифмические неравенства, если в них возникают радикалы или ограничения области определения.
Почему нельзя сразу возвести обе части неравенства в квадрат?
Квадрат сохраняет сравнение для неотрицательных чисел, но не для любых: например, −3 < 2, а 9 > 4. Поэтому перед возведением в квадрат нужно установить знаки обеих частей и выбрать равносильные условия.
Как учесть знак выражения справа от корня?
Корень квадратный неотрицателен, поэтому знак правой части влияет на способ сравнения. Если справа отрицательное число, то √f(x) > g(x) автоматически при выполнении ОДЗ; если нужно возвести в квадрат, сначала проверяют, что обе части неотрицательны.
Нужно ли отдельно записывать ОДЗ, если оно получается при преобразовании?
Да, лучше выписать ОДЗ в начале решения. Так проще не потерять ограничения и проверить, что каждое преобразование относится только к значениям, где исходные выражения определены.
Что делать, если после возведения в квадрат снова остался корень?
Сначала упростите полученное неравенство и изолируйте оставшийся корень. Затем снова проверьте знаки сравниваемых частей и возводите в квадрат только при подходящих условиях.
Как проверить, не появились ли посторонние решения?
Подставьте найденные значения или интервалы в исходное неравенство и проверьте его вместе с ОДЗ. Особенно тщательно это делают после нескольких возведений в квадрат: такие преобразования могут добавить неподходящие значения.
§ 85. Иррациональные неравенства
