"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Простейшие тригонометрические уравнения связывают значение синуса, косинуса, тангенса или котангенса с заданным числом. Их решение помогает находить углы, при которых функция принимает нужное значение, а также служит основой для более сложных тригонометрических уравнений. Для синуса и косинуса проверяют, лежит ли число в пределах от −1 до 1; затем учитывают симметрию и период функции. Для тангенса и котангенса используют период π. Общее решение включает все корни с целым параметром k.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Простейшее тригонометрическое уравнение — уравнение вида sin x = a, cos x = a, tg x = a или ctg x = a, в котором нужно найти аргументы функции по её заданному значению. Здесь x — неизвестный угол, а a — заданное число. Такие уравнения служат основой для решения более сложных: сначала находят значение аргумента функции, затем учитывают все возможные углы.
Арксинус числа a — число из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a; он определён при |a| ≤ 1. Запись arcsin a указывает на главное значение, выбранное из этого отрезка. Оно помогает начать решение, но само по себе обычно не перечисляет все корни уравнения sin x = a.
Арккосинус числа a — число из отрезка [0; π], косинус которого равен a; он существует при |a| ≤ 1. Запись arccos a задаёт одно главное значение угла. По нему удобно находить остальные корни уравнения с косинусом, учитывая симметрию и период функции.
Арктангенс числа a — число из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a; он определён при любом действительном a. Обозначение arctg a задаёт главное значение, к которому при решении добавляют периоды тангенса. Аналогично арккотангенс — число из (0; π), котангенс которого равен a, и его обозначают arcctg a.
Синус угла на единичной окружности — это ордината точки, поэтому он не может быть больше 1 или меньше −1. Если |a| > 1, уравнение sin x = a не имеет решений; при |a| ≤ 1 нужное значение ординаты достигается. Обычно ему соответствуют две точки окружности, симметричные относительно оси ординат, поэтому появляются две серии корней: x = arcsin a + 2πk и x = π − arcsin a + 2πk, где k ∈ Z. Их также можно объединить формулой x = (−1)^k arcsin a + πk.
Для косинуса действует такое же ограничение: координата точки по горизонтали лежит от −1 до 1. Поэтому при |a| > 1 корней нет, а при допустимом a углы с одинаковым косинусом располагаются симметрично относительно оси ординат. Один главный угол равен arccos a, второй можно представить как его противоположный; повторение окружности даёт формулу x = ± arccos a + 2πk. Период равен 2π, потому что полный оборот возвращает точку в исходное положение.
Тангенс и котангенс могут принимать любое действительное значение: на участках, где функции определены, они проходят все значения от сколь угодно больших отрицательных до сколь угодно больших положительных. При сдвиге аргумента на π значение каждой функции не меняется, поэтому к одному решению прибавляют πk, а не 2πk. Получаем tg x = a: x = arctg a + πk и ctg x = a: x = arcctg a + πk, где k ∈ Z. Периодический шаг позволяет включить в ответ каждый подходящий угол.
Обратные тригонометрические функции выбирают по одному значению аргумента из заранее установленного промежутка. Например, arcsin a не перечисляет все углы с синусом a: остальные получаются из-за симметрии окружности и периодичности синуса. Для косинуса главный угол тоже нужно дополнить симметричным значением и периодом. Поэтому при решении важно отличать значение обратной функции от общего решения исходного уравнения.
В формулах общего решения k принимает все целые значения, то есть k ∈ Z. Благодаря этому параметру ответ охватывает углы, отличающиеся на период функции, а для синуса учитывает также вторую серию корней. Если вместо x дано выражение, например 3x − π/4, его сначала приравнивают к общему решению для соответствующей функции. Затем решают полученное уравнение относительно x, сохраняя целочисленный параметр и не теряя его значения.
| Уравнение | Условие существования решений | Общее решение |
|---|---|---|
| sin x = a | |a| ≤ 1 | x = (−1)^k arcsin a + πk, k ∈ Z |
| cos x = a | |a| ≤ 1 | x = ± arccos a + 2πk, k ∈ Z |
| tg x = a | Любое a ∈ R | x = arctg a + πk, k ∈ Z |
| ctg x = a | Любое a ∈ R | x = arcctg a + πk, k ∈ Z |
Сначала найдите строку с нужной функцией и проверьте условие существования корней. Затем подставьте заданное значение a в соответствующую формулу и оставьте k целым параметром. Если аргумент функции не равен x, после этого решите записанное равенство относительно исходной переменной.
Нужно найти все углы, а не только одно значение арксинуса. Число 1/2 допустимо для синуса, потому что его модуль не превышает единицы. Вспомним, что arcsin(1/2) = π/6, а синусу этого значения соответствует ещё один угол в том же обороте.
Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z. Вторая серия не дублирует первую: это углы с той же ординатой на единичной окружности. Добавление 2πk охватывает такие углы во всех оборотах.
Отрицательное значение косинуса допустимо, поскольку −√2/2 находится между −1 и 1. Главное значение arccos(−√2/2) равно 3π/4, так как косинус этого угла равен заданному числу. Второй угол в одном обороте получается отражением относительно оси ординат.
Ответ: x = 3π/4 + 2πk или x = 5π/4 + 2πk, k ∈ Z. Эти углы лежат во второй и третьей четвертях, где косинус отрицателен. Период 2π повторяет оба значения при каждом полном обороте.
Тангенс равен √3 при аргументе π/3 и при углах, отличающихся от него на целое число π. Сначала запишем это общее условие для всего выражения в скобках. Затем решим линейное уравнение, сохраняя параметр k, поскольку каждое его целое значение даёт отдельный корень.
Ответ: x = 7π/36 + πk/3, k ∈ Z. Проверка показывает, что 3x − π/4 = π/3 + πk, а тангенс такого аргумента равен √3. Делить нужно всё выражение вместе с параметром на 3, иначе часть корней будет потеряна.
Иногда в уравнении sin x = a или cos x = a записывают лишь одно семейство корней, например только значение обратной функции с периодом. Так происходит, когда забывают о симметричных точках окружности с одинаковой координатой. Проверьте ответ на примере sin x = 1/2: в пределах от 0 до 2π должны получиться и π/6, и 5π/6. Если одна из этих точек не попала в ответ, добавьте вторую серию.
Для тангенса и котангенса по ошибке прибавляют 2πk, как для синуса и косинуса. Причина — попытка применять один и тот же период ко всем тригонометрическим функциям, хотя период тангенса и котангенса равен π. При шаге 2π пропускаются решения, которые отличаются на π. Чтобы проверить формулу, используйте тождество tg(x + π) = tg x или ctg(x + π) = ctg x.
Ещё одна ошибка — искать arcsin a или arccos a, не проверив, что |a| ≤ 1. У синуса и косинуса значения ограничены, поэтому при выходе a за этот промежуток действительных корней нет. Подстановка в обратную функцию не исправит недопустимое значение. Сначала сравните a с границами −1 и 1, а вычисление начинайте только после проверки.
Главное значение арксинуса или арккосинуса иногда принимают за полный ответ. Это число действительно решает уравнение, но обычно не охватывает все углы с тем же значением функции. Ошибка возникает из-за смешения обратной функции и общего решения исходного уравнения. Проверьте, указаны ли период и все симметричные корни; если нет, ответ неполный.
Для решения нужно знать значения тригонометрических функций на единичной окружности, их периоды и симметрии: именно они объясняют появление разных серий корней. Арксинус, арккосинус и арктангенс позволяют находить главный угол по значению функции; это важно и при обратной задаче — поиске угла. Формулы простейших уравнений применяются дальше, когда сложное тригонометрическое уравнение удаётся упростить или свести к одной из этих форм заменой переменной. Тогда после нахождения значений нового аргумента остаётся решить уравнения относительно исходной переменной.
Почему уравнение sin x = a обычно имеет две серии корней?
На единичной окружности одному значению синуса, как правило, соответствуют две точки: они симметричны относительно оси ординат. Поэтому общее решение записывают двумя сериями, которые затем повторяются с периодом 2π. При крайних значениях a = 1 или a = −1 эти серии совпадают.
Что делать, если |a| больше единицы в уравнении с синусом или косинусом?
Решений нет, потому что синус и косинус принимают значения только от −1 до 1. Значит, обратную функцию вычислять не нужно: заданное значение недостижимо.
Почему в решениях с тангенсом прибавляют πk, а не 2πk?
Тангенс повторяет свои значения через π: tg(x + π) = tg x. Поэтому прибавление πk сразу задаёт все корни, а шаг 2π пропустил бы часть решений. У котангенса период такой же.
Чем главное значение арксинуса отличается от общего решения уравнения?
Арксинус возвращает только одно выбранное значение из отрезка [−π/2; π/2]. Общее решение уравнения учитывает все углы, у которых синус равен данному числу, включая симметрию и периодичность.
Как решать уравнение, если вместо x в тригонометрической функции стоит выражение?
Сначала обозначьте всё выражение в аргументе за новую переменную и запишите общее решение простейшего уравнения. Затем приравняйте исходное выражение к полученным значениям и решите уравнения относительно x. Проверьте, что учтены все целые значения параметра k.
11.1. Простейшие тригонометрические уравнения
