16. Простейшие тригонометрические уравнения

Определения и обозначения

Простейшее тригонометрическое уравнение — это уравнение вида sin x = a, cos x = a, tg x = a или ctg x = a. Здесь x — неизвестный угол, а — заданное число. Такие формы служат основой для решения более сложных тригонометрических уравнений.

Общее решение — запись всех корней уравнения с учётом периодичности функции. Обычно в него входит целое число k, где k ∈ Z. Такая запись не перечисляет корни по одному, а сразу показывает бесконечное множество решений.

Обратные тригонометрические функции arcsin, arccos, arctg и arcctg находят основное значение угла по известному значению функции. Например, arcsin a — это угол, синус которого равен a. Эти функции помогают получить первый представитель семейства корней.

Период тригонометрической функции — наименьшее положительное число, при добавлении которого значение функции не меняется. Для синуса и косинуса период равен 2π, а для тангенса и котангенса — π. Период подсказывает, какое число нужно прибавлять к найденному углу.

Как это устроено

Синус и косинус на единичной окружности являются координатами точки, поэтому каждая из этих координат лежит между −1 и 1. Значит, при |a| > 1 уравнения sin x = a и cos x = a не имеют действительных решений. Если −1 ≤ a ≤ 1, подходящие точки на окружности существуют.

Обратная функция выбирает одно основное значение: α = arcsin a или α = arccos a. Но один угол на окружности обычно не единственный, поэтому для синуса учитывают углы α и π − α, а для косинуса — симметричные углы ±α. Так появляются все решения на одном обороте, после чего добавляются периоды.

Если угол x является решением, то x + T тоже даёт то же значение функции, где T — её период. Поэтому к каждому найденному углу прибавляют 2πk для синуса и косинуса либо πk для тангенса и котангенса. Число k ∈ Z позволяет получить решения в любом направлении на числовой окружности.

У тангенса период равен π, потому что tg x = sin x / cos x: после поворота на π и числитель, и знаменатель меняют знак, а отношение остаётся прежним. У котангенса происходит то же самое с отношением cos x / sin x. При этом нельзя брать точки, где знаменатель равен нулю.

В уравнении с аргументом ax + b сначала удобно положить t = ax + b. Затем находят все значения t по формуле соответствующей функции и решают линейные уравнения ax + b = t. Нельзя потерять параметр k: каждое значение k даёт отдельное решение для x.

Формулы решения простейших тригонометрических уравнений

Сначала определите вид функции и проверьте условие существования решения. Затем подставьте значение a в нужную формулу и не забудьте указать k ∈ Z. Если аргументом является не x, а выражение ax + b, формула сначала применяется к этому выражению.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение sin x = ½.

Нужно найти все углы, синус которых равен ½. Значение находится на отрезке [−1; 1], поэтому решения существуют.

1. Находим основное значение: arcsin ½ = π/6.
2. Учитываем второй угол с таким же синусом: π − π/6 = 5π/6.
3. Добавляем период синуса: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Задача 2. Решить уравнение cos(2x − π/3) = −√3/2.

Выражение 2x − π/3 рассматриваем как единый аргумент. Обозначим его буквой t, чтобы сначала решить простейшее уравнение относительно аргумента.

1. Получаем cos t = −√3/2, поэтому t = 5π/6 + 2πk или t = 7π/6 + 2πk.
2. Возвращаем аргумент: 2x − π/3 = 5π/6 + 2πk или 2x − π/3 = 7π/6 + 2πk.
3. Решаем линейные уравнения: x = 7π/12 + πk или x = 3π/4 + πk.

Ответ: x = 7π/12 + πk или x = 3π/4 + πk, k ∈ Z.

Задача 3. Решить уравнение ctg(3x + π/6) = −√3.

Котангенс равен −√3 при основном угле 5π/6, поскольку ctg 5π/6 = −√3. Период котангенса равен π, поэтому нужно учесть все углы 5π/6 + πk.

1. Записываем уравнение для аргумента: 3x + π/6 = 5π/6 + πk.
2. Вычитаем π/6 и делим на 3: 3x = 2π/3 + πk, откуда x = 2π/9 + πk/3.
3. Аргумент не равен πk, значит котангенс во всех найденных точках определён.

Ответ: x = 2π/9 + πk/3, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Записывают только один угол. Так происходит, когда забывают о симметрии и периодичности функции. Проверьте решение на одном обороте и добавьте все подходящие семейства корней.

Прибавляют 2π к решениям тангенса или котангенса. Это даёт только часть корней, потому что их период равен π. Для проверки сравните выбранную функцию с таблицей периодов.

Применяют arcsin или arccos при |a| > 1. Причина ошибки — пропуск проверки области значений синуса и косинуса. Перед вычислением обратной функции убедитесь, что −1 ≤ a ≤ 1.

Теряют скобки в аргументе ax + b. После решения относительно аргумента некоторые забывают ещё разделить на коэффициент при x или неверно переносят свободный член. Записывайте промежуточное равенство ax + b = t и только потом выражайте x.

Связь с другими темами

Для решения этих уравнений нужны единичная окружность, значения тригонометрических функций, их области определения и периоды. Без этих представлений трудно понять, откуда берутся симметричные углы и бесконечные серии корней.

Тема опирается на формулы приведения, свойства симметричных углов и решение линейных уравнений. Эти навыки позволяют переходить от значения функции к аргументу без механического заучивания.

Простейшие уравнения используются при решении более сложных тригонометрических уравнений и неравенств, преобразовании выражений и изучении производных тригонометрических функций. Поэтому точная запись общего решения нужна и в следующих темах.

Что запомнить

• Синус и косинус принимают значения только от −1 до 1.
• Период синуса и косинуса равен 2π.
• Период тангенса и котангенса равен π.
• Общее решение содержит целое число k, обозначающее все периоды.
• Для синуса обычно записывают два семейства углов.
• Для косинуса используют симметричные углы ± arccos a.
• В уравнении с составным аргументом сначала решают уравнение относительно аргумента, затем относительно x.