2.2. Простейшие тригонометрические уравнения

Определения и обозначения

Уравнение sin x = a называют простейшим тригонометрическим уравнением: требуется найти все углы x, синус которых равен числу a. Его решения существуют только при |a| ≤ 1, потому что синус не бывает больше 1 или меньше −1. Это условие помогает сразу отсеять случаи, когда искать углы бесполезно.

Уравнение cos x = a — простейшее тригонометрическое уравнение на нахождение углов с заданным косинусом. Решения есть при |a| ≤ 1, поскольку косинус, как и синус, принимает значения только от −1 до 1. Проверив это условие, можно переходить к поиску углов.

Уравнение tg x = a называют простейшим тригонометрическим уравнением с тангенсом. У него есть решения при любом действительном a: график тангенса принимает все действительные значения. При этом сам тангенс не определён при x = π/2 + πn, где n ∈ Z, и эти углы не могут быть решениями.

Уравнение ctg x = a — простейшее тригонометрическое уравнение с котангенсом. Оно имеет решения при любом действительном a, так как котангенс принимает все действительные значения. Котангенс не определён при x = πn, поэтому эти углы исключают из области допустимых значений.

Как это устроено

Единичная окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат; точке на ней соответствует угол x. Синус этого угла — координата точки по вертикали, а косинус — по горизонтали. Поэтому условие sin x = a означает, что нужно найти пересечения окружности с горизонтальной прямой y = a, а cos x = a — с вертикальной прямой x = a. Если |a| > 1, соответствующая прямая проходит за пределами окружности и пересечений нет.

За один полный оборот синус обычно принимает одно и то же значение в двух точках окружности, поэтому для sin x = a появляются два семейства решений. Обозначение arcsin a задаёт основной угол из промежутка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Второй угол с тем же синусом равен π − arcsin a; чтобы получить все углы, к каждому семейству прибавляют 2πn. При a = 1 или a = −1 два семейства совпадают, но формула остаётся верной.

Косинус — горизонтальная координата точки, поэтому углы с одинаковым косинусом расположены симметрично относительно оси абсцисс. Основной угол, косинус которого равен a, обозначают arccos a и выбирают из промежутка [0; π]. Второй вариант за оборот получается сменой знака угла, то есть −arccos a. Поскольку период косинуса равен 2π, к обоим вариантам прибавляют 2πn и получают x = ± arccos a + 2πn.

Тангенс равен отношению синуса к косинусу, поэтому при прибавлении π оба значения меняют знак, а их отношение сохраняется. Отсюда период тангенса π и решение tg x = a: x = arctg a + πn, где arctg a — угол из (−π/2; π/2). Котангенс также не меняется при прибавлении π, поэтому ctg x = a решается формулой x = arcctg a + πn, где arcctg a выбирают из (0; π). Обе функции принимают любое действительное значение.

Параметр n ∈ Z означает, что вместо одного угла нужно учесть все углы, полученные прибавлением или вычитанием целого числа периодов. Если в уравнении стоит, например, sin(kx + b) = a, сначала обозначают весь аргумент буквой t и решают уравнение относительно t. Затем подставляют t = kx + b и решают полученные равенства уже относительно x, не забывая делить на коэффициент при x.

Общие решения простейших тригонометрических уравнений

Сначала проверьте условие существования решений, затем выберите формулу для нужной функции. В формулах для тангенса и котангенса периоды равны π, а для синуса и косинуса — 2π. Если аргументом функции является выражение с x, после применения формулы обязательно решите полученное уравнение относительно x.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение sin x = 1/2.

Значение 1/2 допустимо для синуса, так как его модуль не превышает 1. Основной угол равен arcsin(1/2) = π/6. За один период есть ещё угол π − π/6 = 5π/6, а остальные решения получаются повторением через 2π.

1. Записываем первое семейство: x = π/6 + 2πn.
2. Находим второй угол с тем же синусом: π − π/6 = 5π/6.
3. Записываем второе семейство: x = 5π/6 + 2πn, где n ∈ Z.

Ответ: x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.

Задача 2. Решить уравнение cos(2x − π/3) = −√2/2.

Аргумент косинуса сложный, поэтому сначала обозначим t = 2x − π/3. Число −√2/2 допустимо, а arccos(−√2/2) = 3π/4. По формуле для косинуса t = ±3π/4 + 2πn; затем нужно решить оба линейных уравнения относительно x.

1. Записываем: 2x − π/3 = 3π/4 + 2πn или 2x − π/3 = −3π/4 + 2πn.
2. В первом случае 2x = 3π/4 + π/3 + 2πn = 13π/12 + 2πn, поэтому x = 13π/24 + πn.
3. Во втором случае 2x = −3π/4 + π/3 + 2πn = −5π/12 + 2πn, поэтому x = −5π/24 + πn.

Ответ: x = 13π/24 + πn или x = −5π/24 + πn, n ∈ Z.

Задача 3. Решить уравнение 2sin²x − 3sin x + 1 = 0.

В выражении синус встречается как одна и та же величина, поэтому удобно временно обозначить y = sin x. Получится квадратное уравнение; его корни нужно проверить, ведь синус не может выходить за границы [−1; 1]. Для каждого допустимого корня отдельно запишем решения простейшего уравнения с синусом.

1. Подставляем y = sin x: 2y² − 3y + 1 = 0. Разложение на множители даёт (2y − 1)(y − 1) = 0, поэтому y = 1/2 или y = 1.
2. Оба значения допустимы для синуса. При sin x = 1/2 получаем x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn.
3. При sin x = 1 получаем x = π/2 + 2πn. Объединяем решения, сохраняя все три семейства.

Ответ: x = π/6 + 2πn, x = 5π/6 + 2πn или x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.

Типичные ошибки

Записывать решения уравнения sin x = a или cos x = a при |a| > 1 нельзя. Ошибка появляется, когда сразу подставляют число в формулу и не проверяют, может ли оно быть значением функции. Проверка простая: если модуль правой части больше 1, решений нет.

Если для уравнения с синусом или косинусом указать только один угол за период, часть решений потеряется. Обычно вспоминают основное значение обратной функции, но забывают о второй точке окружности с той же координатой. Проверьте результат на окружности: при промежуточном значении между −1 и 1 прямая обычно пересекает её в двух точках.

Для тангенса и котангенса иногда используют период 2π, как для синуса и косинуса. Это приводит к пропуску решений, потому что значения этих функций повторяются уже через π. Чтобы проверить формулу, подставьте вместо x угол x + π: тангенс и котангенс сохраняют значение.

Параметр n иногда принимают только за положительное число или забывают указать, что он целый. Тогда не учитываются решения с отрицательными периодами или их часть. Запись n ∈ Z означает любое целое число. Ещё одна ошибка — остановиться на решении относительно введённого аргумента, например t, и не выразить исходную переменную x; в конце подставьте определение аргумента и решите полученное уравнение.

Связь с другими темами

Для решения простейших уравнений нужны единичная окружность, значения тригонометрических функций и их периодичность. Также важно знать обозначения обратных функций: arcsin, arccos, arctg и arcctg. Эти знания помогают перейти от значения функции к углу.

Общие решения служат основой для более сложных тригонометрических уравнений и неравенств. Например, заменой y = sin x уравнение можно свести к квадратному, а затем решить несколько простейших уравнений. Умение учитывать все периоды позволяет не потерять решения при таких преобразованиях.

Что запомнить

• Уравнения sin x = a и cos x = a имеют решения только при |a| ≤ 1.
• Уравнения tg x = a и ctg x = a имеют решения при любом действительном a.
• Период синуса и косинуса равен 2π.
• Период тангенса и котангенса равен π.
• В формулах общих решений n принимает все целые значения.
• После замены аргумента на выражение с x нужно решить полученное уравнение относительно x.