"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Простейшие тригонометрические неравенства содержат синус, косинус, тангенс или котангенс и сводятся к поиску промежутков, где функция больше или меньше заданного числа. Для решения используют единичную окружность, графики, обратные функции и периодичность. Главное — правильно выбрать границы, учесть знак неравенства и не включить точки, где тангенс или котангенс не определены.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Простейшее тригонометрическое неравенство — неравенство вида sin x > a, cos x ≤ a, tg x ≥ a или ctg x < a. Оно называется простейшим, потому что содержит одну тригонометрическую функцию и её аргумент x. Такие неравенства служат основой для более сложных задач.
Общее решение — запись всех значений x, подходящих не только на одном отрезке, но и на всех повторяющихся периодах. Обычно в ответе появляется целое число k, например x ∈ [α + 2πk; β + 2πk], k ∈ Z. Такая запись сразу описывает бесконечное множество решений.
Единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Координаты точки, соответствующей углу x, равны cos x и sin x, поэтому по окружности можно увидеть нужные углы и дуги. Этот способ особенно удобен для выбора промежутка, где функция больше или меньше заданного числа.
Обратные тригонометрические функции — arcsin, arccos, arctg и arcctg. Они позволяют по известному значению функции найти один опорный угол: например, α = arcsin a или α = arccos a. Затем с учётом симметрии и периода находят все остальные углы.
Синус и косинус не могут быть больше 1 или меньше −1, потому что являются координатами точки единичной окружности. Поэтому при a > 1 или a < −1 часть неравенств сразу не имеет решений, а часть выполняется при всех x. Например, sin x > 2 невозможно, а cos x ≤ 2 верно для любого x.
Чтобы найти углы с заданным синусом или косинусом, на единичной окружности проводят горизонтальную или вертикальную линию нужного уровня. Симметрия окружности даёт обычно два угла на одном периоде, после чего к ним добавляют 2πk, потому что синус и косинус повторяют значения через полный оборот. Так получают не отдельные углы, а все решения.
После нахождения граничных углов выбирают дугу, на которой функция удовлетворяет знаку неравенства. То же видно на графике: подходят участки, расположенные выше линии y = a для знака > или ниже неё для знака <. При строгом неравенстве точки пересечения не входят в ответ, а при нестрогом входят.
Тангенс и котангенс имеют период π, поскольку при повороте на π и синус, и косинус меняют знак, а их отношение сохраняется. На каждом промежутке определения tg x возрастает, а ctg x убывает, поэтому сравнение можно проводить почти так же, как для обычной монотонной функции. При этом обязательно исключают разрывы: π/2 + πk для тангенса и πk для котангенса.
Если аргумент равен ax + b, сначала удобно обозначить его буквой t и решить неравенство относительно t. Затем подставляют t = ax + b и решают линейное неравенство; при делении на отрицательное a знак меняется. Период найденного аргумента также нужно правильно перенести на x.
| Функция | Допустимые значения правой части | Опорное равенство | Период | Что учитывать при выборе решения |
|---|---|---|---|---|
| sin x | −1 ≤ a ≤ 1 | α = arcsin a | 2π | Симметрия относительно π/2 |
| cos x | −1 ≤ a ≤ 1 | α = arccos a | 2π | Симметрия относительно оси Ox |
| tg x | a — любое действительное число | α = arctg a | π | Разрывы x = π/2 + πk |
| ctg x | a — любое действительное число | α = arcctg a | π | Разрывы x = πk |
| Граничные точки | При знаках ≥ и ≤ включаются, при знаках > и < исключаются | |||
Сначала определите функцию и допустимость правой части, затем найдите опорные углы. После выбора нужной дуги или промежутка проверьте границы, период и область определения.
Нужно найти все дуги единичной окружности, где ордината точки не меньше ½. Граничные значения находятся из равенства sin x = ½.
Ответ: x ∈ [π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk], k ∈ Z.
Сначала решим неравенство для переменной, стоящей внутри косинуса. Это позволяет не потерять период и только потом вернуться к x.
Ответ: x ∈ (13π/24 + πk; 19π/24 + πk), k ∈ Z. Концы не включены, поскольку исходный знак строгий.
Котангенс убывает на каждом промежутке (πk; π + πk), поэтому достаточно определить точку равенства. При этом конец, где котангенс не определён, в решение не входит.
Ответ: x ∈ [2πk; 3π/2 + 2πk), k ∈ Z. Точки x = 3π/2 + 2πk исключены, поскольку там аргумент котангенса равен π + πk.
Первая ошибка — записать только один найденный промежуток и забыть период. Так происходит, когда решение на окружности принимают за полный ответ. Проверьте себя: в записи должен появиться k ∈ Z и период функции.
Вторая ошибка — перепутать периоды. Для sin и cos период равен 2π, а для tg и ctg — π, потому что последние повторяются уже после поворота на пол-оборота. Полезно каждый раз отдельно выписывать период выбранной функции.
Третья ошибка — неверно расставить круглые и квадратные скобки. Точки равенства включают при ≥ и ≤, но исключают при > и <. Подставьте граничную точку в исходное неравенство и проверьте, подходит ли она.
Четвёртая ошибка — включить точку разрыва тангенса или котангенса. Такие значения нельзя проверять подстановкой, поскольку функция там не определена. Перед записью ответа выпишите ограничения x ≠ π/2 + πk для tg и x ≠ πk для ctg.
Для этой темы нужны единичная окружность, радианная мера угла, основные значения тригонометрических функций и их графики. Без них трудно быстро находить опорные углы и нужные дуги.
Также пригодятся обычные неравенства, действия с промежутками и преобразование линейного выражения ax + b. Особенно важно помнить правило изменения знака при делении на отрицательное число.
Простейшие неравенства служат основой для решения тригонометрических уравнений и систем. Они также встречаются при исследовании функций и в задачах, где нужно описать допустимые значения величины.
Почему в решении нужно писать x + 2πk, а не только найденный промежуток?
Тригонометрические функции периодичны: через каждые 2π значения синуса и косинуса повторяются. Поэтому один найденный промежуток нужно перенести на все периоды, записав k ∈ Z.
Как понять, какие концы промежутка включать в ответ?
Если в неравенстве стоит знак ≥ или ≤, точки равенства включают в ответ. При знаках > или < граничные точки исключают.
Почему период тангенса равен π?
При прибавлении π и синус, и косинус меняют знак, поэтому их отношение не меняется: tg(x + π) = tg x. Следовательно, значения тангенса повторяются через π, а не через 2π.
Что делать, если правая часть неравенства больше 1 или меньше −1?
Синус и косинус принимают значения только от −1 до 1. Поэтому, например, sin x > 2 решений не имеет, а sin x ≤ 2 выполняется при всех x.
Как решать неравенство, если внутри синуса или косинуса стоит выражение ax + b?
Сначала заменяют весь аргумент новой переменной и решают простейшее неравенство. Затем возвращаются к ax + b и учитывают знак коэффициента a при делении на него.
2.3. Простейшие тригонометрические неравенства
