"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Тригонометрическое уравнение содержит неизвестную внутри аргумента синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Его корни — все значения неизвестной, при которых равенство верно. Из-за периодичности тригонометрических функций корней часто бесконечно много, поэтому их записывают семействами с целым параметром k. В теме разбираются общие формулы решений и способы выбрать корни на заданном промежутке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент тригонометрической функции, например sin x = ½. Оно отличается от равенства вроде sin 1 = ½: в последнем тригонометрическая функция имеет числовой аргумент, а неизвестной нет. Поэтому решить тригонометрическое уравнение — значит найти значения аргумента, при которых равенство выполняется.
Корень уравнения — значение неизвестной, при котором исходное уравнение становится верным. Например, чтобы проверить, является ли π/6 корнем равенства sin x = ½, подставляют π/6 вместо x и проверяют, получится ли верное числовое равенство. Такая проверка связывает найденное значение именно с исходным уравнением, а не только с преобразованной записью.
Общее решение — запись всех корней уравнения с помощью целого параметра, обычно k ∈ Z. Например, формула x = π/6 + 2πk описывает бесконечно много значений x, потому что k может быть любым целым числом. Общий ответ нужен, чтобы не потерять корни, которые не видны при записи одного значения.
Частное решение — отдельный корень или выбранная часть общего решения, например все корни, попавшие на заданный промежуток. Чтобы получить такой ответ, используют общую формулу и отбирают из неё подходящие значения. Это полезно, когда задача требует найти корни только между указанными границами.
Проверка подстановкой показывает, что корень — не просто число, появившееся в ходе вычислений: оно должно сделать верным исходное равенство. Поэтому после преобразований важно учитывать ограничения и возвращаться к условию задачи. Если уравнение равносильно исходному на всей области определения, найденные значения подходят; если при преобразовании делили на выражение или меняли область, нужна дополнительная проверка. Ответ должен включать все допустимые значения, а не только одно удобное.
Синус, косинус, тангенс и котангенс периодичны: при прибавлении периода значение функции повторяется. Значит, вместе с одним корнем возникают значения, отличающиеся на целое число периодов. Например, для синуса и косинуса период равен 2π, поэтому в ответе появляется слагаемое 2πk. Параметр k ∈ Z позволяет одной записью перечислить бесконечно много корней.
Рассмотрим sin x = a. Синус принимает значения только от −1 до 1, поэтому при |a| > 1 решений нет. Если |a| ≤ 1, обозначим α = arcsin a, то есть угол из промежутка [−π/2; π/2], синус которого равен a. На единичной окружности такое значение синуса обычно имеют две точки за полный оборот: отсюда x = α + 2πk и x = π − α + 2πk, где k ∈ Z. Два семейства нужны, потому что одинаковый синус не означает одинаковый угол.
Для cos x = a действует такое же ограничение: косинус не выходит за пределы [−1; 1]. При |a| ≤ 1 положим α = arccos a, где α ∈ [0; π]. Косинус симметричен относительно оси абсцисс на единичной окружности, поэтому углы α и −α имеют одинаковый косинус. С учётом повторения через 2π получаем x = ± arccos a + 2πk, k ∈ Z; при |a| > 1 корней нет.
Тангенс и котангенс повторяют свои значения через π, поэтому их общие решения отличаются от формул для синуса и косинуса. Для tg x = a получаем x = arctg a + πk, где arctg a — угол, тангенс которого равен a. Для ctg x = a можно записать x = arcctg a + πk, выбрав arcctg a из промежутка (0; π). У этих уравнений решения существуют при любом действительном a, но исходные функции не определены в некоторых точках: у тангенса x ≠ π/2 + πk, у котангенса x ≠ πk.
| Уравнение | Условие существования решений | Общее решение |
|---|---|---|
| sin x = a | |a| ≤ 1 | x = arcsin a + 2πk или x = π − arcsin a + 2πk, k ∈ Z |
| cos x = a | |a| ≤ 1 | x = ± arccos a + 2πk, k ∈ Z |
| tg x = a | Любое a ∈ R | x = arctg a + πk, k ∈ Z |
| ctg x = a | Любое a ∈ R | x = arcctg a + πk, k ∈ Z; arcctg a ∈ (0; π) |
Сначала проверьте условие существования решений, затем выберите формулу для нужной функции. В формулах для синуса и косинуса учитывайте оба семейства или знак ±, а для тангенса и котангенса — период π. В каждой строке k принимает все целые значения.
Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Ответ: x = 3π/8 + πk или x = −3π/8 + πk, k ∈ Z.
Ответ: на промежутке [0; 2π] корни x = π/2 и x = 3π/2.
Для уравнения sin x = a иногда записывают только одно семейство, например x = arcsin a + 2πk. Так делают, ориентируясь лишь на главное значение арксинуса и забывая о второй точке окружности с тем же синусом. Проверьте себя: подставьте найденные углы в уравнение или отметьте их на окружности. Если в пределах одного оборота подходящих углов два, в общем решении должны быть учтены оба.
Для тангенса или котангенса могут ошибочно использовать период 2π, как для синуса и косинуса. Тогда часть корней теряется: значение этих функций повторяется уже через π. Проверка проста: вспомните равенство tg(x + π) = tg x и аналогичное равенство для котангенса, после чего сверьте период в формуле ответа.
Если забыть параметр k или не указать, что k ∈ Z, общий ответ превращается в запись отдельных корней либо становится неоднозначным. Ошибка возникает, когда найденный угол принимают за весь ответ. Убедитесь, что формула позволяет получить все корни при разных целых k и что область значений параметра оговорена.
Иногда решают sin x = a или cos x = a, не проверив условие |a| ≤ 1. Причина в том, что сразу начинают применять формулу, хотя значение функции не может быть больше 1 или меньше −1. Перед поиском арксинуса или арккосинуса сравните модуль числа a с единицей; при |a| > 1 действительных корней нет.
Для решения простейших уравнений нужны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса на основных углах, их периоды и свойства на единичной окружности. Эти знания объясняют, откуда берутся формулы общего решения и как распознать все корни. Позже простейшие уравнения будут возникать после преобразований более сложных выражений или замены переменной. Общие формулы также помогают отбирать корни на промежутке и решать тригонометрические неравенства.
Почему у простейшего тригонометрического уравнения обычно бесконечно много корней?
Тригонометрические функции периодичны: через один и тот же промежуток их значения повторяются. Поэтому, если x₀ — корень, к нему часто можно прибавлять любое целое число периодов и получать новые корни.
Зачем в общем решении указывать целое число k?
Параметр k ∈ Z объединяет бесконечное семейство корней одной формулой. Если его не указать, запись покажет лишь отдельное значение или не пояснит, как получить все корни.
Почему у уравнений с тангенсом период корней равен π?
Тангенс при прибавлении π не меняется: tg(x + π) = tg x. Поэтому корни повторяются через π, а не через 2π.
Как понять, есть ли действительные корни уравнения sin x = a?
Значения синуса лежат между −1 и 1, поэтому действительные корни существуют только при |a| ≤ 1. Если |a| > 1, равенство невозможно.
Как выбрать из общего решения только корни на заданном промежутке?
Подставьте целые значения k в формулу общего решения и оставьте те полученные x, которые попадают в заданный промежуток. Удобно сначала оценить границы для k, а затем проверить крайние значения.
2.1. Тригонометрические уравнения и их корни
