1.12. Метод вспомогательного угла

Определения и обозначения

Метод вспомогательного угла — способ представить выражение вида a sin x + b cos x как одну тригонометрическую функцию с аргументом x и постоянным углом. Например, сумма превращается в R sin(x + φ). Это нужно, чтобы заменить два слагаемых более простой функцией и применять обычные правила решения.

Вспомогательный угол — угол φ, который выбирают так, чтобы после раскрытия формулы сложения коэффициенты совпали с a и b. Для него задают отношения cos φ = a/R и sin φ = b/R. По знакам этих чисел можно определить четверть угла и избежать неправильного выбора.

Амплитуда — положительное число R = √(a² + b²), стоящее перед синусом или косинусом. Оно показывает, насколько велики возможные значения всей линейной комбинации. Чем больше R, тем шире промежуток её значений.

Фазовый сдвиг — постоянное слагаемое φ в аргументе функции, например в записи sin(x + φ). Он не меняет амплитуду, а смещает график вдоль оси x. В задачах фазовый сдвиг помогает свести выражение к знакомому синусу или косинусу.

Как это устроено

Начнём с формулы синуса суммы: sin(x + φ) = sin x cos φ + cos x sin φ. Если умножить её на R, получим R sin(x + φ) = R cos φ sin x + R sin φ cos x. Поэтому исходные коэффициенты совпадут, если потребовать R cos φ = a и R sin φ = b.

Чтобы найти R, возведём эти два равенства в квадрат и сложим. Левая часть даст R²(cos²φ + sin²φ), а скобка равна 1 по основному тригонометрическому тождеству. Значит, R² = a² + b², и поскольку амплитуда положительна, R = √(a² + b²).

Затем выбирают φ по значениям cos φ = a/R и sin φ = b/R. Если a положительно, косинус угла положителен, а если отрицательно — отрицателен; аналогично знак b определяет знак синуса. Эти два знака задают четверть, после чего полезно проверить конкретные значения синуса и косинуса, а не ориентироваться только на тангенс.

При решении уравнения сначала заменяют линейную комбинацию выражением R sin(x + φ) или R cos(x − φ). Затем решают стандартное тригонометрическое уравнение для нового аргумента и возвращаются к x, не забывая общий период. Для неравенства действуют так же, но дополнительно учитывают промежутки, где синус или косинус больше либо меньше нужного числа.

Для поиска наибольшего и наименьшего значения используют границы −1 ≤ sin t ≤ 1 и −1 ≤ cos t ≤ 1. Поэтому R sin(x + φ) лежит от −R до R, и те же границы получает исходное выражение. Крайние значения действительно достигаются, потому что синус принимает 1 и −1 при подходящих значениях аргумента.

Преобразование линейной комбинации синуса и косинуса

Сначала определите коэффициенты a и b, затем вычислите амплитуду R. После этого подберите угол по двум отношениям и выберите строку, соответствующую расположению синуса и косинуса в исходном выражении.

Полученную запись можно проверить раскрытием формулы суммы или разности. Такая проверка особенно полезна, если один из коэффициентов отрицательный.

Разбор задач

Задача 1. Представление выражения одной функцией

Условие: представить 3 sin x + 4 cos x в виде одной тригонометрической функции.

1. Находим амплитуду: R = √(3² + 4²) = 5.
2. Сравниваем коэффициенты с формулой R sin(x + φ): 5 cos φ = 3 и 5 sin φ = 4. Значит, cos φ = 3/5, sin φ = 4/5.
3. Оба значения положительны, поэтому φ можно выбрать в первой четверти. Подстановка в формулу даёт нужные коэффициенты.

Ответ: 3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + φ), где cos φ = 3/5 и sin φ = 4/5.

Задача 2. Решение уравнения

Условие: решить уравнение √3 sin x + cos x = 1 на промежутке [0; 2π].

1. Амплитуда равна R = √((√3)² + 1²) = 2. Для угла φ получаем cos φ = √3/2 и sin φ = 1/2, поэтому φ = π/6.
2. Левая часть преобразуется так: √3 sin x + cos x = 2 sin(x + π/6). Уравнение принимает вид 2 sin(x + π/6) = 1, или sin(x + π/6) = 1/2.
3. Общие решения: x + π/6 = π/6 + 2πk или x + π/6 = 5π/6 + 2πk. Следовательно, x = 2πk или x = 2π/3 + 2πk.
4. На заданном промежутке подходят x = 0, 2π/3 и 2π. Значение 2π появляется из первой серии при k = 1, поскольку промежуток замкнутый.

Ответ: x ∈ {0; 2π/3; 2π}.

Задача 3. Наибольшее и наименьшее значения

Условие: найти наибольшее и наименьшее значения выражения 5 sin x − 12 cos x.

1. Записываем коэффициенты a = 5 и b = −12. Тогда R = √(5² + (−12)²) = √169 = 13.
2. Выбираем φ по равенствам cos φ = 5/13 и sin φ = −12/13. Косинус положителен, а синус отрицателен, поэтому угол находится в четвёртой четверти.
3. Получаем 5 sin x − 12 cos x = 13 sin(x + φ). Так как синус принимает значения от −1 до 1, выражение лежит в промежутке [−13; 13].
4. Значения 1 и −1 синус принимает, значит, обе границы достигаются при подходящих x.

Ответ: наибольшее значение равно 13, наименьшее — −13.

Типичные ошибки

Иногда амплитуду считают как √(a² − b²) или |a| + |b|. Такая ошибка возникает, когда забывают вывести R из двух равенств для коэффициентов. Проверьте себя: правильное значение обязательно получается из суммы квадратов и не зависит от знаков a и b.

Другая ошибка — поменять местами sin φ и cos φ при сравнении коэффициентов. В формуле R sin(x + φ) коэффициент при sin x равен R cos φ, а при cos x — R sin φ. Раскройте скобки и убедитесь, что оба исходных коэффициента восстановились.

Выбор угла только по тангенсу может привести не в ту четверть. Тангенс одинаков в углах, отличающихся на π, поэтому он не различает одновременно знаки синуса и косинуса. Сначала определите знаки cos φ и sin φ, а затем проверьте выбранный угол.

При решении уравнений иногда оставляют только одно значение аргумента и забывают период. Причина в том, что после замены рассматривают отдельный угол, а не все его возможные значения. Записывайте общее решение с 2πk, затем выражайте x и проверяйте заданный промежуток.

Связь с другими темами

До применения метода нужны формулы sin(x + φ) и cos(x − φ), основное тригонометрическое тождество, значения синуса и косинуса, а также представление о знаках функций в четвертях. Эти знания позволяют не только выполнить преобразование, но и правильно выбрать вспомогательный угол.

Метод напрямую связан с решением тригонометрических уравнений и неравенств. Кроме того, он превращает задачу о двух слагаемых в задачу о свойствах одной функции, поэтому удобен при нахождении наибольших и наименьших значений.

Что запомнить

• Для a sin x + b cos x амплитуда равна √(a² + b²).
• В записи R sin(x + φ) выполняются равенства R cos φ = a и R sin φ = b.
• Знаки коэффициентов помогают определить четверть вспомогательного угла.
• Выбранный угол и преобразование полезно проверить раскрытием формулы суммы.
• После преобразования учитывай период синуса или косинуса.
• Значения выражения a sin x + b cos x лежат между −√(a² + b²) и √(a² + b²).