1.11. Обратные тригонометрические функции

Определения и обозначения

Обратная тригонометрическая функция возвращает угол по известному значению синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Она не отменяет периодичность исходной функции, а выбирает один главный угол из всех возможных. Поэтому для каждой такой функции заранее задают промежуток, на котором исходная функция становится взаимно однозначной.

Арксинус — функция y = arcsin x, обратная синусу на отрезке [−π/2; π/2]. Её значения тоже лежат в этом отрезке, а область определения — [−1; 1], поскольку синус не бывает больше 1 по модулю. Арксинус нужен, чтобы находить главный угол по известному значению синуса.

Арккосинус — функция y = arccos x, обратная косинусу на отрезке [0; π]. Она также определена только при −1 ≤ x ≤ 1, но её значения неотрицательны. С помощью арккосинуса получают единственный главный угол, косинус которого равен заданному числу.

Арктангенс y = arctg x и арккотангенс y = arcctg x — обратные функции для тангенса и котангенса. Для тангенса выбирают промежуток (−π/2; π/2), а для котангенса обычно (0; π). Эти обозначения позволяют переходить от значения отношения к углу, не забывая о выбранном диапазоне.

Как это устроено

На всей числовой прямой синус, косинус, тангенс и котангенс не имеют обратных функций в обычном смысле. Причина в периодичности: например, sin x = sin(x + 2π), поэтому разным аргументам соответствует одно значение. Чтобы каждому значению сопоставлялся ровно один угол, выбирают промежуток, на котором функция монотонна и не повторяет своих значений. Для синуса это [−π/2; π/2], для косинуса [0; π], для тангенса и котангенса — интервалы между соседними разрывами.

Пусть на выбранном промежутке задано равенство y = sin x. Если поменять местами зависимую и независимую переменные, получится x = sin y. Теперь нужно выразить y через x: y = arcsin x. Так получают записи x = arcsin y для исходного равенства y = sin x, а аналогично из y = cos x, y = tg x и y = ctg x получают x = arccos y, x = arctg y и x = arcctg y. Смысл такой записи: новая функция возвращает тот аргумент, который был у исходной функции.

Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции на выбранном промежутке. Синус и косинус принимают все значения от −1 до 1, поэтому arcsin и arccos определены на [−1; 1]. Тангенс и котангенс на своих промежутках принимают любые действительные значения, значит, arctg и arcctg имеют область определения R. При этом множество значений обратной функции совпадает с тем промежутком, который выбрали для исходной.

График обратной функции получают отражением графика исходной функции относительно прямой y = x. При таком отражении координаты каждой точки меняются местами: (a; b) превращается в (b; a). Поэтому область определения и множество значений также меняются ролями. На графике видны только выбранные ветви исходных функций, а не вся периодическая кривая.

Основные свойства обратных тригонометрических функций

Таблица помогает быстро определить, какие значения допустимы и какой главный угол выдаёт функция. В строке с тождествами важно различать применение исходной функции к обратной и обратной функции к исходной: второе равенство требует попадания угла в главный промежуток.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить arcsin(−√3/2) + arccos(1/2)

Нужно найти два главных угла, а затем сложить их. Для арксинуса выбираем угол из [−π/2; π/2], а для арккосинуса — из [0; π]. Значения удобно определить по единичной окружности.

1. Так как sin(−π/3) = −√3/2 и −π/3 принадлежит главному промежутку, arcsin(−√3/2) = −π/3.
2. Так как cos(π/3) = 1/2 и π/3 ∈ [0; π], arccos(1/2) = π/3.
3. Складываем: −π/3 + π/3 = 0.

Ответ: 0.

Задача 2. Решить уравнение 2arctg x = π/2

Сначала нужно выразить сам арктангенс, а затем убрать обратную функцию. Получившийся угол π/4 находится в допустимом промежутке арктангенса, поэтому применение тангенса не добавляет лишних решений. После этого проверяем найденное значение в исходном уравнении.

1. Делим обе части на 2: arctg x = π/4.
2. Применяем тангенс: x = tg(π/4) = 1.
3. Проверка: 2arctg 1 = 2 · π/4 = π/2.

Ответ: x = 1.

Задача 3. Решить на промежутке [0; 2π] уравнение sin x = √3/2

Арксинус даст только главный угол, но синус принимает такое же значение ещё во втором квадранте. Поэтому после нахождения первого угла нужно использовать симметрию окружности и проверить границы заданного промежутка. Периодические решения здесь перечисляются только внутри [0; 2π].

1. Главный угол α = arcsin(√3/2) = π/3.
2. Первое решение: x₁ = π/3.
3. Второе решение в периоде: x₂ = π − π/3 = 2π/3.
4. Добавление 2π не даёт новых точек внутри указанного промежутка.

Ответ: x = π/3 или x = 2π/3.

Типичные ошибки

1. Записывают arcsin(sin x) = x для любого x. Ошибка возникает из-за механического понимания слова «обратная»: арксинус возвращает только угол из [−π/2; π/2]. Проверяйте, принадлежит ли исходный угол этому отрезку.

2. Путают область определения и множество значений, например считают, что arccos x может быть отрицательным. Область определения отвечает за допустимые входные числа, а множество значений — за результаты функции. Для самопроверки выпишите промежуток, на котором определена исходная функция.

3. При решении sin x = a или cos x = a находят только один угол. Обратная функция даёт главный угол, но периодичность и симметрия создают другие решения. После вычисления угла отметьте все подходящие точки на единичной окружности.

4. Смешивают градусную и радианную меры угла, сопоставляя π/2 и 1,57 без оговорки. Число 1,57 — приближённая запись радианной меры π/2, а не градусная величина. В одном решении используйте одну систему измерения и явно переводите результат при необходимости.

Связь с другими темами

До изучения обратных функций нужны единичная окружность, значения и свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Также требуется понимать область определения, множество значений и смысл обратной функции. Без этих понятий трудно выбрать главный угол и проверить допустимость результата.

Обратные тригонометрические функции особенно нужны при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Они позволяют записать главный угол точно, а затем восстановить общее решение с помощью периодичности. Единичная окружность помогает не потерять остальные корни.

Дальше эти функции встречаются в формулах преобразования выражений, математическом анализе и вычислении производных. Их свойства помогают работать с композициями функций и оценивать допустимые значения. Поэтому диапазоны arcsin, arccos, arctg и arcctg нужно знать наизусть.

Что запомнить

• Обратную функцию для периодической тригонометрической функции получают только после ограничения её области определения.
• arcsin x принимает значения только в [−π/2; π/2].
• arccos x принимает значения только в [0; π].
• arctg x принимает значения в (−π/2; π/2).
• arcctg x принимает значения в (0; π) при стандартном школьном соглашении.
• Равенство arcsin(sin x) = x верно только на главном промежутке арксинуса.
• При решении тригонометрического уравнения обратная функция задаёт главный угол, после чего нужно восстановить все решения.