"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Обратные тригонометрические функции помогают восстановить угол по известному значению его синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Поскольку обычные тригонометрические функции повторяют значения, для обращения каждой выбирают промежуток, где она строго монотонна. Поэтому у arcsin, arccos, arctg и arcctg есть заранее установленные главные значения. Чтобы правильно вычислять выражения с ними, нужно учитывать и допустимые аргументы, и эти промежутки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арксинус числа x — угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен x; обозначают arcsin x. Эта функция определена только при −1 ≤ x ≤ 1, потому что синус не принимает значений за пределами этого отрезка. Ограничение на угол позволяет каждому допустимому значению синуса сопоставить ровно один ответ.
Арккосинус числа x — угол из отрезка [0; π], косинус которого равен x; обозначают arccos x. Его область определения — [−1; 1], поскольку именно такие значения может принимать косинус. Выбранный отрезок задаёт единственный главный угол для каждого допустимого x.
Арктангенс числа x — угол из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен x; обозначают arctg x. Он определён при любом действительном x, так как на выбранном интервале тангенс принимает все действительные значения. Такое обозначение удобно, когда требуется найти угол по его тангенсу.
Арккотангенс числа x — угол из интервала (0; π), котангенс которого равен x; обозначают arcctg x. Функция определена при любом действительном x: котангенс на этом интервале принимает любые действительные значения. Интервал задаёт единственный угол, который выбирают в качестве ответа.
Обратная функция отвечает на вопрос: какой аргумент исходной функции дал известное значение? Например, если известно, что синус угла равен 1/2, арксинус помогает восстановить угол. Такое обращение возможно, только когда каждому значению функции соответствует один аргумент; иначе у вопроса было бы несколько ответов.
Синус, косинус, тангенс и котангенс периодичны, поэтому на всей числовой прямой повторяют значения. Например, синусы углов x и x + 2π совпадают. Чтобы устранить неоднозначность, для каждой исходной функции выбирают промежуток, на котором она строго монотонна, то есть всё время только возрастает или только убывает.
Для синуса и тангенса главные углы берут между −π/2 и π/2, а для косинуса и котангенса — между 0 и π. При этом границы включают для arcsin и arccos, но не включают для arctg и arcctg: тангенс и котангенс там не определены. Поэтому выбранные промежутки становятся областями значений обратных функций.
При композиции функций важно различать, какая операция выполняется первой. Равенства sin(arcsin x) = x и cos(arccos x) = x верны для −1 ≤ x ≤ 1: исходная функция отменяет действие обратной. Но arcsin(sin x) возвращает не обязательно x, а угол из [−π/2; π/2], поскольку так задан арксинус. Например, угол 5π/6 имеет синус 1/2, но arcsin(1/2) = π/6.
График обратной функции получают отражением графика исходной функции относительно прямой y = x, но берут только участок исходного графика, на котором определена взаимная однозначность. При отражении координаты меняются местами: то, что было значением функции, становится аргументом, и наоборот. Поэтому по графику удобно проверять, где функция определена и какие углы она может принимать.
| Характеристика | y = arcsin x | y = arccos x | y = arctg x | y = arcctg x |
|---|---|---|---|---|
| Область определения | [−1; 1] | [−1; 1] | R | R |
| Область значений | [−π/2; π/2] | [0; π] | (−π/2; π/2) | (0; π) |
| Монотонность | Возрастает | Убывает | Возрастает | Убывает |
| Чётность или нечётность | Нечётная | Ни чётная, ни нечётная | Нечётная | Ни чётная, ни нечётная |
| Связь с соответствующей тригонометрической функцией | sin(arcsin x) = x | cos(arccos x) = x | tg(arctg x) = x | ctg(arcctg x) = x |
R здесь обозначает множество всех действительных чисел. При чтении таблицы сначала проверьте, входит ли аргумент в область определения, а затем — в каком промежутке находится ответ. Монотонность помогает понять, как меняется угол при изменении аргумента.
Задача 1. Вычислить arcsin(1/2), arccos(−1/2), arctg(1), arcctg(−√3). Для каждого выражения найдём знакомый угол, а затем проверим, что он попадает в промежуток главных значений. Это необходимо, потому что одинаковое значение тригонометрической функции может иметь много углов.
Ответ: π/6; 2π/3; π/4; 5π/6.
Задача 2. Вычислить sin(arcsin(−3/5)) и cos(arccos(2/3)). Сначала проверим допустимость аргументов: числа −3/5 и 2/3 принадлежат [−1; 1]. В каждой записи исходная функция применяется к углу, который вернула обратная функция, поэтому функции взаимно сокращаются.
Ответ: −3/5; 2/3.
Задача 3. Упростить arcsin(sin(5π/6)) и arctg(tg(3π/4)). Сначала исходная функция вычисляется для заданного угла, затем обратная выбирает угол из собственного промежутка значений. Поэтому углы нужно привести к главному промежутку, а не просто убрать функции из записи.
Ответ: π/6; −π/4.
Ошибка: считать, что arcsin(sin x) = x при любом x. Так рассуждают, забывая о главных значениях арксинуса. Например, при x = 5π/6 результат равен π/6, а не 5π/6. Проверьте, лежит ли исходный угол в [−π/2; π/2]; только тогда равенство гарантировано.
Ошибка: вычислять arcsin(2) в действительных числах. Такое происходит, если не проверить допустимость аргумента. Синус действительного угла не может быть больше 1 или меньше −1, поэтому arcsin и arccos определены только на [−1; 1]. Перед вычислением сравните аргумент с границами этого отрезка.
Ошибка: приписывать arccos значения из (−π/2; π/2). Этот промежуток относится к значениям arcsin и arctg, а арккосинус возвращает угол из [0; π]. Путаница возникает из-за того, что названия функций похожи. Сверяйте результат с нужным столбцом таблицы и проверяйте знак угла.
Ошибка: понимать sin⁻¹ x как 1/sin x. Запись sin⁻¹ x часто используют для обозначения arcsin x, и показатель −1 здесь не означает деление. Обратную величину записывают как 1/sin x. Чтобы проверить смысл, посмотрите на контекст и при необходимости перепишите неоднозначное обозначение словами.
Для работы с обратными тригонометрическими функциями нужны определения и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также их периодичность, монотонность и табличные значения. Эти знания позволяют выбрать правильный главный угол, а не только вспомнить подходящее значение. Обратные функции применяют при решении тригонометрических уравнений и восстановлении угла по значению функции. Они также связаны с общей темой обратных функций и пригодятся при преобразовании выражений и исследовании сложных функций.
Почему у синуса нельзя определить обратную функцию на всей числовой прямой?
Синус периодичен: например, sin x = sin(x + 2π). Значит, разным аргументам соответствует одно значение, и на всей прямой синус не является взаимно однозначным. Для определения arcsin выбирают отрезок [−π/2; π/2], где синус строго возрастает.
Почему arcsin x и arccos x определены только при −1 ≤ x ≤ 1?
Значения синуса и косинуса всегда лежат от −1 до 1 включительно. Поэтому за пределами этого промежутка не существует действительного угла с таким синусом или косинусом. Например, arcsin 2 в действительных числах не определён.
Чем отличаются arcsin(sin x) и sin(arcsin x)?
В выражении sin(arcsin x) арксинус сначала возвращает угол с синусом x, поэтому результат равен x при −1 ≤ x ≤ 1. В выражении arcsin(sin x) ответ обязан лежать в [−π/2; π/2], поэтому он не всегда равен исходному углу. Например, arcsin(sin(5π/6)) = π/6.
Как найти точное значение arctg(1) или arcctg(−√3)?
Нужно вспомнить табличные значения и выбрать угол из промежутка значений соответствующей функции. Так, tg(π/4) = 1, поэтому arctg(1) = π/4. Поскольку ctg(5π/6) = −√3 и 5π/6 лежит в (0; π), arcctg(−√3) = 5π/6.
Что означает запись sin⁻¹ x: arcsin x или 1/sin x?
В записи sin⁻¹ x обычно подразумевают arcsin x — обратную функцию синуса. Обратную величину записывают как 1/sin x или cosec x. Чтобы избежать неоднозначности, лучше использовать обозначение arcsin x.
Обратные тригонометрические функции
