3.3. Обратные тригонометрические функции

Определения и обозначения

Арксинус числа x — единственный угол y из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен x; записывают y = arcsin x. Например, arcsin(1/2) означает угол из этого отрезка, синус которого равен 1/2. Ограничение промежутка нужно, чтобы по значению синуса получать ровно один угол.

Арккосинус числа x — единственный угол y из отрезка [0; π], косинус которого равен x; обозначение — y = arccos x. Так, arccos x отвечает на вопрос, какой угол из выбранного отрезка имеет косинус x. Этот промежуток позволяет однозначно определить результат, хотя косинус одного и того же значения может достигать при разных углах.

Арктангенс числа x — единственный угол y из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен x; обозначение — y = arctg x. Например, arctg 1 — угол из этого интервала, тангенс которого равен 1. Запись помогает находить угол по тангенсу, а выбранный промежуток исключает остальные подходящие углы.

Арккотангенс числа x — единственный угол y из интервала (0; π), котангенс которого равен x; обозначение — y = arcctg x. Значит, arcctg x указывает на угол из этого интервала с заданным котангенсом. Благодаря такому выбору арккотангенс, как и остальные обратные функции, каждому допустимому аргументу ставит в соответствие одно значение.

Как это устроено

Обратную тригонометрическую функцию можно определить, если исходная функция на выбранной части области определения принимает каждое своё значение только один раз. На всей числовой прямой синус и косинус повторяют значения из-за периодичности, поэтому одним числом нельзя однозначно задать угол. Ограничивая исходную функцию подходящим промежутком, мы оставляем по одному углу для каждого её значения. Так обратное соответствие становится функцией.

Аргумент арксинуса и арккосинуса должен принадлежать [−1; 1], потому что именно в этих границах лежат значения синуса и косинуса. Если подать, например, число 2, найти угол с синусом или косинусом 2 невозможно. Тангенс и котангенс могут принимать любые действительные значения, поэтому у арктангенса и арккотангенса ограничений на аргумент нет. При этом исходные tg x и ctg x сами не определены в точках, где их знаменатель обращается в ноль.

Значение обратной функции выбирают из её фиксированного главного промежутка: у arcsin это [−π/2; π/2], у arccos — [0; π], у arctg — (−π/2; π/2), у arcctg — (0; π). Например, уравнению sin y = 1/2 удовлетворяют многие углы, но arcsin(1/2) обозначает только один из них — угол π/6. Этот выбор не противоречит периодичности синуса: функция arcsin просто возвращает значение по принятому правилу. Поэтому при вычислениях важно различать все решения уравнения и значение обратной функции.

График обратной функции получают отражением графика исходной функции, ограниченной нужным промежутком, относительно прямой y = x. При таком отражении каждая точка с координатами (a; b) переходит в точку (b; a), поэтому область определения исходной функции становится множеством значений обратной. Например, для arcsin отрезок значений синуса [−1; 1] становится областью определения арксинуса, а выбранный промежуток углов — его множеством значений. Без ограничения исходного графика отражение не задавало бы график функции: одному аргументу соответствовало бы несколько значений.

Если сначала применить обратную функцию к числу, а затем исходную, результатом будет это число: sin(arcsin x) = x при x ∈ [−1; 1], и так же устроены остальные прямые композиции. В обратном порядке равенство может не сработать, потому что обратная функция возвращает угол только из своего главного промежутка. Например, arcsin(sin y) = y лишь при y ∈ [−π/2; π/2]. Если y вне этого отрезка, значение синуса сохраняется, но арксинус выбирает другой угол из главного промежутка.

Области определения, значения и основные свойства обратных тригонометрических функций

Сначала по таблице проверяйте, допустим ли аргумент: для arcsin и arccos он должен лежать между −1 и 1. Затем смотрите на строку «Множество значений», чтобы определить, в каком промежутке искать угол. Строки с формулами помогают проверить вычисление или заменить обратную функцию исходной.

Разбор задач

Вычислите arcsin(1/2) и arccos(−1/2)

Нужно найти углы с указанными значениями синуса и косинуса. Сначала вспоминаем табличные значения, затем сверяем каждый найденный угол с главным промежутком соответствующей функции. Это важно: подходящий по тригонометрическому значению угол может не быть значением арксинуса или арккосинуса.

1. Синус угла π/6 равен 1/2, а π/6 принадлежит [−π/2; π/2]. Поэтому arcsin(1/2) = π/6.
2. Косинус угла 2π/3 равен −1/2, и 2π/3 принадлежит [0; π]. Следовательно, arccos(−1/2) = 2π/3.

Оба аргумента допустимы, поскольку 1/2 и −1/2 принадлежат отрезку [−1; 1]. Найденные углы также лежат в промежутках значений нужных функций. Ответ: arcsin(1/2) = π/6, arccos(−1/2) = 2π/3.

Вычислите arctg(1) + arcctg(1)

Арктангенс и арккотангенс одного числа связаны соотношением arctg x + arcctg x = π/2. Оно подходит для любого действительного x, поэтому можно воспользоваться им сразу. Проверим результат и через главные промежутки: это помогает не спутать, какой угол соответствует каждой функции.

1. Тангенс π/4 равен 1, а π/4 лежит в (−π/2; π/2), значит, arctg(1) = π/4.
2. Котангенс π/4 тоже равен 1, но для arcctg нужно выбирать угол из (0; π). Поэтому arcctg(1) = π/4.
3. Складываем найденные значения: π/4 + π/4 = π/2.

Оба слагаемых равны π/4, и их сумма совпадает с общим соотношением для арктангенса и арккотангенса. Ответ: π/2.

Решите уравнение arcsin(2x − 1) = π/6

Арксинус числа равен π/6 тогда, когда его аргумент равен синусу π/6. Применение синуса к обеим частям допустимо, потому что π/6 находится в промежутке значений арксинуса. После решения линейного уравнения нужно проверить, что аргумент арксинуса принадлежит [−1; 1].

1. Применяем синус к обеим частям: 2x − 1 = sin(π/6) = 1/2.
2. Решаем уравнение: 2x = 3/2, откуда x = 3/4.
3. Проверяем аргумент: 2 · 3/4 − 1 = 1/2, а 1/2 ∈ [−1; 1]. Ограничение области определения выполнено.

Подстановка найденного x даёт arcsin(1/2) = π/6, то есть исходное равенство верно. Других решений нет, поскольку преобразование свело уравнение к линейному. Ответ: x = 3/4.

Типичные ошибки

Ошибка: считать arcsin x выражением 1/sin x. Её допускают, потому что слово «обратный» принимают за обратную величину, хотя здесь речь об обратной функции. Проверка простая: arcsin x — угол, а 1/sin x — число; например, arcsin(1/2) = π/6, тогда как 1/(1/2) = 2.

Ошибка: считать, что arcsin x и arccos x определены при любом x. Синус и косинус не принимают значений вне [−1; 1], поэтому для таких аргументов угол найти нельзя. Перед вычислением проверьте, что −1 ≤ x ≤ 1; если условие нарушено, значение арксинуса или арккосинуса в действительных числах не определено.

Ошибка: перечислять все углы с заданным синусом или косинусом вместо одного значения обратной функции. Так происходит, если забыть, что обратная функция выбирает угол из главного промежутка. Сверьте ответ с промежутком значений: у arcsin это [−π/2; π/2], у arccos — [0; π]; угол за его пределами не может быть ответом.

Ошибка: полагать, что arcsin(sin y) = y при любом y. Такое рассуждение игнорирует периодичность синуса и то, что arcsin всегда возвращает угол из [−π/2; π/2]. Чтобы проверить равенство, сначала убедитесь, что y принадлежит этому промежутку; вне него арксинус может вернуть другой угол с тем же синусом.

Связь с другими темами

Для вычислений понадобятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса основных углов, а также понимание их областей определения и периодичности. Обратные тригонометрические функции позволяют находить углы по заданным значениям и применяются при решении тригонометрических уравнений. С ними связаны общие свойства обратной функции, построение графиков и решение уравнений с помощью преобразований.

Что запомнить

• arcsin x и arccos x определены при −1 ≤ x ≤ 1.
• Значения arcsin x принадлежат [−π/2; π/2], а arccos x — [0; π].
• Значения arctg x принадлежат (−π/2; π/2), а arcctg x — (0; π).
• sin(arcsin x) = x и cos(arccos x) = x при x ∈ [−1; 1].
• tg(arctg x) = x и ctg(arcctg x) = x при любом действительном x.
• При вычислении обратной функции выбирают угол только из её главного промежутка.