§ 6. Обратные тригонометрические функции

Определения и обозначения

Арксинус — функция, обратная синусу на отрезке [−π/2; π/2]. Записывают y = arcsin x: это угол из указанного отрезка, синус которого равен x. Такой выбор позволяет однозначно находить угол по его синусу.

Арккосинус — функция, обратная косинусу на отрезке [0; π], обозначается y = arccos x. Значение arccos x — единственный угол из этого отрезка с косинусом x. Функция нужна, когда по значению косинуса требуется восстановить главный угол.

Арктангенс — функция, обратная тангенсу на интервале (−π/2; π/2), обозначается y = arctg x. Поэтому arctg x — это угол из данного интервала, тангенс которого равен x. Интервал выбран так, чтобы тангенс принимал каждое действительное значение ровно один раз.

Арккотангенс — функция, обратная котангенсу на интервале (0; π), обозначается y = arcctg x. Она возвращает единственный угол из этого интервала, котангенс которого равен x. Это удобно для обратного перехода от значения котангенса к углу.

Как это устроено

На всей числовой прямой синус и косинус повторяют значения, поэтому одному результату соответствуют разные углы. Тангенс и котангенс также повторяются с периодом π. Если оставить исходную функцию на всей области определения, обратная зависимость не будет однозначной, то есть не станет функцией.

Поэтому выбирают промежуток, где исходная функция строго возрастает или строго убывает. На нём каждому значению функции соответствует ровно один аргумент, и обратная функция существует. Для синуса это [−π/2; π/2], для косинуса [0; π], для тангенса (−π/2; π/2), для котангенса (0; π).

Взаимная обратность означает, что функции меняются местами: sin(arcsin x) = x при x ∈ [−1; 1], а arcsin(sin x) = x только при x ∈ [−π/2; π/2]. В первом равенстве x должен быть допустимым значением синуса, во втором исходный угол должен уже лежать в главном промежутке. Аналогично, cos(arccos x) = x при x ∈ [−1; 1], но arccos(cos x) = x только при x ∈ [0; π]; для тангенса и котангенса ограничения задаются их выбранными интервалами.

Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной: синус и косинус дают [−1; 1], а тангенс и котангенс — все действительные числа. Множество значений обратной функции совпадает с тем промежутком аргумента, на котором исходная функция была ограничена. График обратной функции получают отражением графика исходной относительно прямой y = x, поскольку у взаимно обратных функций координаты точек меняются местами.

Обратные тригонометрические функции

В таблице собраны главные свойства функций. В строке «основные значения» указаны значения в характерных точках или предельные значения. При преобразованиях сначала определяйте, к какому главному промежутку принадлежит угол, и только затем выбирайте знак.

Разбор задач

1. Найдите значение выражения: arcsin(1/2) + arccos(−1).

Нужно найти два главных значения, а затем сложить их. Аргументы 1/2 и −1 входят в области определения арксинуса и арккосинуса. Используем табличные значения углов, а не произвольные решения тригонометрических уравнений.

1. Так как sin(π/6) = 1/2 и π/6 ∈ [−π/2; π/2], получаем arcsin(1/2) = π/6.
2. Косинус равен −1 при главном угле π, поэтому arccos(−1) = π.
3. Складываем: π/6 + π = 7π/6.

Ответ: 7π/6. Получившийся результат не обязан принадлежать множеству значений одной обратной функции, потому что здесь складываются два её значения.

2. Упростите выражение: cos(arcsin x), если x ∈ [−1; 1].

Введём угол α = arcsin x. Тогда sin α = x, а сам угол находится в [−π/2; π/2]. Это условие нужно для выбора знака косинуса после применения основного тождества.

1. Из sin²α + cos²α = 1 получаем cos²α = 1 − x².
2. На отрезке [−π/2; π/2] косинус неотрицателен, поэтому cos α = √(1 − x²).
3. Возвращаемся к исходной записи: cos(arcsin x) = √(1 − x²).

Ответ: √(1 − x²). Ограничение x ∈ [−1; 1] гарантирует, что выражение под корнем неотрицательно.

3. Решите уравнение: arcsin(2x − 1) = π/6.

Сначала нужно учесть область определения: для арксинуса аргумент должен лежать в [−1; 1]. Затем применим синус к обеим частям, поскольку правая часть уже является главным значением арксинуса.

1. Условие допустимости: −1 ≤ 2x − 1 ≤ 1, откуда 0 ≤ x ≤ 1.
2. Применяем синус: 2x − 1 = sin(π/6) = 1/2.
3. Решаем линейное уравнение: 2x = 3/2, поэтому x = 3/4.
4. Число 3/4 входит в допустимый промежуток, значит, корень подходит.

Ответ: x = 3/4. Проверка даёт arcsin(1/2) = π/6, поэтому равенство выполнено.

Типичные ошибки

arcsin x записывают как 1/sin x. Ошибка возникает из-за слова «обратная»: в одном случае меняются местами аргумент и значение функции, а в другом берётся обратная величина. Проверка проста: arcsin x — угол, тогда как 1/sin x — число, обратное синусу.

Считают, что arcsin(sin x) = x при любом x. Синус периодичен, а арксинус возвращает только угол из [−π/2; π/2]. Поэтому равенство верно лишь при x из этого промежутка; полезно сначала проверить, где находится исходный угол.

Неверно выбирают знак корня. Из cos²(arcsin x) = 1 − x² нельзя сразу написать ±√(1 − x²). Нужно учесть, что arcsin x ∈ [−π/2; π/2], где косинус неотрицателен; для других выражений аналогично исследуют главный промежуток.

Путают область определения и множество значений. Например, arctg x определён при любом действительном x, но его значения лежат между −π/2 и π/2, а не между −1 и 1. Сверяйте, является ли число аргументом функции или её результатом.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны определения, области определения, монотонность и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Также понадобятся табличные значения тригонометрических функций и тождество sin²x + cos²x = 1.

Обратные функции применяются при решении тригонометрических уравнений и неравенств, преобразовании выражений и выборе главных значений углов. Позже они используются при изучении производных и исследовании функций.

Что запомнить

• Обратная функция существует на промежутке, где исходная функция взаимно однозначна.
• Значения arcsin x лежат в [−π/2; π/2].
• Значения arccos x лежат в [0; π].
• Значения arctg x лежат в (−π/2; π/2).
• Значения arcctg x лежат в (0; π).
• Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.
• Равенство обратной функции с исходной без ограничений на аргумент обычно неверно.