"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Обратные тригонометрические функции помогают по значению синуса, косинуса, тангенса или котангенса найти соответствующий угол. Чтобы угол был единственным, исходные функции рассматривают на специально выбранных промежутках. Так получают арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Их значения — главные углы, а не все решения тригонометрического уравнения. Знание областей определения и значений помогает вычислять выражения и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арксинус числа x — угол y из отрезка [−π/2; π/2], для которого sin y = x; записывают y = arcsin x. Например, arcsin(1/2) — не любое число с синусом 1/2, а угол, выбранный именно в указанном отрезке. Такое обозначение позволяет находить угол по известному значению синуса.
Арккосинус числа x — угол y из отрезка [0; π], для которого cos y = x; записывают y = arccos x. Выбранный промежуток оставляет ровно один угол для каждого допустимого значения косинуса. Поэтому arccos помогает однозначно восстановить угол.
Арктангенс числа x — угол y из интервала (−π/2; π/2), для которого tg y = x; записывают y = arctg x. Скобки означают, что концы интервала не входят в него: тангенс там не определён. Арктангенс нужен, чтобы по значению тангенса определить единственный угол в этом промежутке.
Арккотангенс числа x — угол y из интервала (0; π), для которого ctg y = x; записывают y = arcctg x. Выбор этого промежутка делает котангенс взаимно однозначным, то есть каждому значению соответствует ровно один угол. Поэтому арккотангенс также возвращает один определённый угол, а не набор углов.
Обратную функцию можно построить лишь тогда, когда исходная функция взаимно однозначна: разным аргументам должны соответствовать разные значения. Синус и косинус на всей числовой прямой повторяют значения периодически, поэтому одному значению отвечают многие углы. Тангенс и котангенс тоже повторяются. Чтобы получить обратную функцию, каждую из исходных функций ограничивают промежутком, на котором она проходит все свои значения без повторов.
Область определения обратной функции определяется тем, какие значения может принимать исходная функция. Синус и косинус дают только числа от −1 до 1, поэтому arcsin x и arccos x существуют лишь при −1 ≤ x ≤ 1. Тангенс и котангенс на выбранных промежутках принимают любое действительное значение. Значит, аргументом arctg и arcctg может быть любое действительное число.
Значение arcsin x, arccos x, arctg x или arcctg x — угол внутри специально выбранного промежутка. Это главное значение, а не все углы, которые удовлетворяют соответствующему равенству с синусом, косинусом, тангенсом или котангенсом. Например, если известен синус угла, уравнение sin y = x может иметь бесконечно много решений, но арксинус укажет только одно. Поэтому при решении уравнений нужно отличать значение обратной функции от общего решения тригонометрического уравнения.
График обратной функции получают отражением графика исходной функции относительно прямой y = x, предварительно ограничив исходную функцию нужным промежутком. При отражении координаты каждой точки меняются местами: точка (a; b) переходит в точку (b; a). Поэтому область определения и множество значений меняются местами, а на графике обратной функции главные значения оказываются на вертикальной оси. Это правило помогает понять форму графиков и проверить их диапазоны.
Связи между обратными функциями получаются из соотношений между самими тригонометрическими функциями и из выбранных промежутков. Углы arcsin x и arccos x дополняют друг друга до π/2, поэтому arcsin x + arccos x = π/2. Аналогично, для любого действительного x выполняется arctg x + arcctg x = π/2. Такие равенства позволяют заменять одну обратную функцию другой и упрощать выражения.
| Свойство | y = arcsin x | y = arccos x | y = arctg x | y = arcctg x |
|---|---|---|---|---|
| Область определения | [−1; 1] | [−1; 1] | ℝ | ℝ |
| Множество значений | [−π/2; π/2] | [0; π] | (−π/2; π/2) | (0; π) |
| Поведение на области определения | Возрастает | Убывает | Возрастает | Убывает |
| Значение при x = 0 | 0 | π/2 | 0 | π/2 |
| Основное соотношение с исходной функцией | sin(arcsin x) = x | cos(arccos x) = x | tg(arctg x) = x | ctg(arcctg x) = x |
Для вычислений сначала проверьте область определения аргумента, затем найдите подходящий угол по таблице значений тригонометрических функций. Строки множества значений помогут убедиться, что выбранный угол находится в допустимом промежутке. Монотонность показывает, в какую сторону меняется значение функции при увеличении x.
Вычислите arcsin(1/2).
Ответ: arcsin(1/2) = π/6.
Вычислите arccos(−√2/2) + arctg(1).
Ответ: π.
Решите уравнение 2 arctg x = π/2.
Ответ: x = 1.
Ошибка: считать arcsin x или arccos x определёнными при любом x. Их аргумент обязательно должен лежать в [−1; 1], потому что синус и косинус не принимают значений за пределами этого отрезка. Ошибку часто допускают, перенося на эти функции область определения арктангенса. Проверьте аргумент до вычисления: например, arccos 2 не имеет значения в действительных числах.
Ошибка: записывать все углы с заданным синусом или косинусом вместо одного главного значения. Так происходит, когда обратную функцию принимают за решение тригонометрического уравнения. Проверка простая: выбранный угол должен принадлежать промежутку значений именно этой обратной функции.
Ошибка: понимать arcsin x как 1/sin x. Арксинус — угол, а обратная величина к синусу угла равна 1/sin x и называется косекансом. Путаницу провоцирует слово «обратный», но это разные действия. Чтобы проверить себя, подставьте найденный угол в синус: результат должен быть x.
Ошибка: забывать о промежутке значений при решении уравнений и оставлять лишние корни. Например, уравнение arctg x = y не может иметь решение, если y не принадлежит (−π/2; π/2). Сначала проверьте допустимость угла, потом переходите к тангенсу или другой исходной функции. В конце полезно подставить корень в начальное уравнение.
Для работы с обратными тригонометрическими функциями нужны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса на основных углах, а также их области определения и множества значений. Эти функции помогают находить углы по известным значениям и применяются при решении тригонометрических уравнений. Их построение опирается на общее понятие обратной функции, изучаемое в алгебре. Позднее обратные тригонометрические функции встречаются при дифференцировании и интегрировании.
Почему для синуса и косинуса аргумент обратной функции ограничен промежутком [−1; 1]?
Синус и косинус не принимают значений вне отрезка [−1; 1]. Поэтому числа за его пределами не могут быть их значениями и не имеют арксинуса или арккосинуса.
Почему arcsin(sin x) не всегда равно x?
Арксинус возвращает только угол из промежутка [−π/2; π/2]. Если x лежит вне него, arcsin(sin x) даст другой угол с тем же синусом, но уже внутри допустимого промежутка.
Чем арксинус отличается от величины, обратной синусу?
Арксинус числа — это угол, синус которого равен этому числу. Величина, обратная синусу угла x, равна 1/sin x и называется косекансом; это совсем другая операция.
Почему значения arccos x лежат в [0; π], а не в [−π; π]?
На отрезке [0; π] косинус принимает каждое значение от −1 до 1 ровно один раз. На всём отрезке [−π; π] для большинства таких значений нашлось бы два угла, и обратная функция не была бы однозначной.
Как определить, какой угол выбрать при вычислении обратной тригонометрической функции?
Нужно выбрать угол из промежутка значений соответствующей функции: для arcsin — [−π/2; π/2], для arccos — [0; π], для arctg — (−π/2; π/2), для arcctg — (0; π). Затем проверить, что его тригонометрическая функция равна заданному числу.
§ 43*. Обратные тригонометрические функции
