§ 42. Свойства функции у = tg x и её график

Определения и обозначения

Тангенс угла x определяется отношением синуса к косинусу: y = tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0. Это отношение показывает, как соотносятся значения двух тригонометрических функций при одном и том же угле. Определение позволяет изучать тангенс через уже знакомые синус и косинус.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых выражение имеет смысл. Для тангенса исключаются x = π/2 + πk, где k ∈ Z, то есть k — любое целое число. В этих точках знаменатель sin x / cos x равен нулю, поэтому частное не существует.

Период функции — положительное число, при прибавлении которого значения функции повторяются для любого допустимого аргумента. Наименьший положительный период тангенса равен π: tg(x + π) = tg x. Период помогает описать весь график, изучив только одну его часть.

Вертикальная асимптота — прямая, к которой график неограниченно приближается, когда аргумент подходит к определённому значению. У тангенса такие прямые проходят через x = π/2 + πk. Они соответствуют точкам, где функция не определена, и разделяют её график на отдельные ветви.

Как это устроено

Чтобы найти область определения, используем формулу tg x = sin x / cos x: дробь существует, пока её знаменатель не равен нулю. Косинус обращается в ноль при x = π/2 + πk, где k — целое число. Поэтому все эти значения исключают, а остальные действительные числа входят в область определения.

При прибавлении π к аргументу и синус, и косинус меняют знак: sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. В частном два минуса сокращаются, так что tg(x + π) = tg x и график повторяется через π. Число 2π тоже является периодом, но не наименьшим: уже через π значения повторяются.

Тангенс нечётный, потому что sin(−x) = −sin x, а cos(−x) = cos x. Следовательно, tg(−x) = −tg x: противоположным аргументам соответствуют противоположные значения. Поэтому каждой точке графика соответствует точка, полученная поворотом на 180° вокруг начала координат, то есть график симметричен относительно начала координат.

На промежутке (−π/2 + πk; π/2 + πk) тангенс непрерывно возрастает. При приближении к левой границе справа значения стремятся к −∞, а у правой границы слева — к +∞. Значит, между соседними асимптотами функция проходит все действительные значения, не меняя направления возрастания.

Для построения сначала отметьте нули x = πk и вертикальные асимптоты x = π/2 + πk. Между соседними асимптотами проведите возрастающую ветвь через соответствующий ноль; например, основная ветвь проходит через точку (0; 0). Затем перенесите её вправо и влево на π, сохраняя форму и расположение асимптот.

Основные свойства функции y = tg x

Таблица помогает быстро определить, допустимо ли заданное значение x и чего ожидать от графика около него. Для построения сначала найдите ближайшие нули и асимптоты, затем используйте период π. Не путайте асимптоты с точками графика: сама функция в них не существует.

Разбор задач

1. Найдите область определения функции y = tg x.

Нужно определить, при каких x знаменатель в определении тангенса становится нулём. В остальных точках отношение синуса к косинусу существует, поэтому они входят в область определения.

1. Записываем определение: tg x = sin x / cos x.
2. Исключаем значения, при которых cos x = 0. Это x = π/2 + πk, где k ∈ Z.
3. Оставляем все действительные числа, кроме найденных значений.

Ответ: D(y) = R {π/2 + πk | k ∈ Z}. Иными словами, область определения — все действительные x, кроме π/2 + πk.

2. Упростите tg(7π/4) и определите знак tg(−π/6).

В первом выражении удобно вычесть период π, чтобы получить угол из знакомого промежутка. Во втором применим нечётность, а затем определим знак тангенса положительного угла. Такой порядок позволяет не вычислять значения по графику.

1. Используем период: 7π/4 − π = 3π/4, поэтому tg(7π/4) = tg(3π/4).
2. Угол 3π/4 лежит во II четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен. Значит, tg(3π/4) = −1.
3. По нечётности tg(−π/6) = −tg(π/6). Так как π/6 — угол I четверти, tg(π/6) положителен, следовательно, tg(−π/6) отрицателен.

Ответ: tg(7π/4) = −1; tg(−π/6) < 0.

3. Постройте график y = tg x на отрезке [−2π; 2π] и укажите его нули и вертикальные асимптоты.

На заданном отрезке повторяются несколько ветвей, поэтому сначала находим все характерные точки. Нули задаются формулой x = πk, а асимптоты — формулой x = π/2 + πk. Затем между каждой парой соседних асимптот проводим возрастающую ветвь.

1. Для нулей условие −2π ≤ πk ≤ 2π даёт k = −2, −1, 0, 1, 2.
2. Для асимптот условие −2π ≤ π/2 + πk ≤ 2π даёт k = −2, −1, 0, 1. Получаем x = −3π/2, −π/2, π/2, 3π/2.
3. Проведите через каждую точку разрыва вертикальную асимптоту и изобразите между соседними прямыми возрастающие ветви. Каждая ветвь пересекает ось x в одном из найденных нулей.

Ответ: нули −2π, −π, 0, π, 2π; вертикальные асимптоты −3π/2, −π/2, π/2, 3π/2. Все ветви на промежутке строятся по одному образцу, повторяющемуся через π.

Типичные ошибки

Некоторые считают период тангенса равным 2π, перенося период синуса. Это происходит, если не проверить формулу для отношения синуса и косинуса: при сдвиге на π оба меняют знак, а частное остаётся прежним. Проверка tg(x + π) = tg x сразу показывает, что период равен π.

Другая ошибка — включать x = π/2 + πk в область определения. Иногда забывают, что в этих точках косинус равен нулю, а деление на ноль невозможно. Для проверки подставьте граничные значения в cos x: если знаменатель обращается в ноль, аргумент нужно исключить.

Тангенс ошибочно ограничивают промежутком от −1 до 1, как синус и косинус. Причина — смешение свойств этих функций, хотя отношение sin x / cos x может быть сколь угодно большим по модулю. Помните, что на каждом промежутке между асимптотами тангенс проходит весь диапазон действительных чисел.

Ветви иногда рисуют убывающими или соединяют через асимптоту. Такое случается, если не учитывать возрастание функции и принимают прямую асимптоты за точку графика. Проверьте рисунок: каждая ветвь должна идти снизу вверх, а при x = π/2 + πk на графике должен оставаться разрыв.

Связь с другими темами

Для изучения тангенса нужны определения синуса и косинуса, единичная окружность и значения тригонометрических функций для основных углов. Знание знаков синуса и косинуса в четвертях помогает определять знак тангенса без вычислений. Понимание периода, нулей и асимптот пригодится при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Эти же свойства служат основой для изучения обратной функции арктангенса.

Что запомнить

• tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0.
• Область определения: все действительные x, кроме π/2 + πk.
• Область значений тангенса — все действительные числа.
• Наименьший положительный период tg x равен π.
• Тангенс — нечётная функция: tg(−x) = −tg x.
• На каждом промежутке между соседними вертикальными асимптотами тангенс возрастает.
• Нули функции имеют вид x = πk.